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Varianza e Deviazione Standard In evidenza

Si definisce varianza, o varianza campionaria di un insieme di $n$ dati $x_1,x_2,\dots ,x_n$ con media $\overline{x}$, la quantità

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{s^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}$$

Si dimostra facilmente che la formula precedente, può essere riscritta come segue: $$s^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\overline{x}^2}{n-1}$$ la quale rappresenta la formula più utilizzata nella pratica per calcolare la varianza.

Scarto quadratico medio o deviazione standard

Si definisce scarto quadratico medio, o deviazione standard la radice quadrata della varianza

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{s=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}}$$

Analogamente a quanto detto per la varianza, la deviazione standard può essere calcolata utilizzando una formula più pratica $$s=\sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^2-n\overline{x}^2}{n-1}}$$

Varianza divisa per $n-1$ o per $n$?

Osserviamo che nella formula si divide per $n-1$ anzichè per $n$, perchè la varianza $s^2$ definita in questo modo gode (varianza corretta) di alcune proprietà che la rendono una misura più adeguata nell'inferenza statistica (intervalli di confidenza, test di ipotesi, ecc.).

Tuttavia, in alcuni casi, non si esclude la possibilità di calcolare la varianza dividendo nella formula per $n$.

Dalle formule esposte sopra, si evince come la varianza aumenti all'aumentare dello scostamento dei dati dal valore medio.

Varianza per dati raggruppati

Se i dati sono raggruppati in classi, analogamente al valore medio (vedi qui) è possibile calcolare la varianza. Supposti $n$ il numero totale di dati, $k$ le classi, $m_i$ il valore centrale della generica classe e $f_i$ la corrispondente frequenza assoluta, la varianza per gli $n$ dati raggruppati nelle $k$ classi è data da:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{s^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^k\left(m_i-\overline{x}\right)^2f_i}{n-1}}$$

Per il calcolo della varianza per dati raggruppati si può utilizzare la seguente formula alternativa e più efficienti dal punto di vista computazionale: $$s^2=\frac{\sum\limits_{i=1}^k f_im_i^2-n\overline{x}^2}{n-1}$$

Esempio

In riferimento all'esempio precedente, calcoliamo la varianza utilizzando la formula appena vista: $$s^2=\frac{7^2\cdot 4+11^2\cdot 9+15^2\cdot 15+19^2\cdot 24+23^2\cdot 17+27^2\cdot 9+31^2\cdot 2-80\cdot 18.8^2}{79}=31.96$$

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