Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi, tutti di grado inferiore rispetto al polinomi di partenza
Esempio
Consideriamo il polinomio $$x^4-1$$
Una sua prima scomposizione è data dal prodotto notevole somma per differenza per la quale si ha: $$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$$
Questa scomposizione, però, non è terminata, in quanto uno dei due fattori, $x^-1$, può essere scomposto ulteriormente in quanto ancora differenza di quadrati: $$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$$
Invece $x^2+1$ non è scomponibile. Si dice che il polinomio $x^4-1$, scomponibile in fattori, è riducibile, mentre $(x-1),\ (x-1),\ (x^2+1)$ sono irriducibili.
Un polinomio in una o più variabili è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinomi, tutti di grado minore. Un polinomio non riducibile si chiama irriducibile.
Purtroppo non esiste un metodo generale per ottenere la scomposizione di un polinomio riducibile. Studiamo allora alcuni dei metodi più comuni di fattorizzazione, basati su regole algebriche che conosciamo. I metodi sono:
- raccoglimento a fattore comune;
- raccoglimento parzialmente;
- scomposizione mediante prodotti notevoli;
- scomposizione mediante trinomio di secondo grado;
- scomposizione mediante la regola di Ruffini
Il raccoglimento a fattore comune
Questo metodo si utilizza quando in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore. In questo caso, infatti, è possibile metterlo in evidenza con un raccoglimento a fattore comune:
Esempio: raccoglimento a fattore comune
$$\begin{array}{l} ab+ac+ad=a(b+c+d)\\ 5x^4-10x^3-35x^2=5x^2(x^2-2x-7)\end{array}$$Osserva che i polinomi $2x^2+2$, $3x^2+3$, $4x^2+8\dots$ sono tutti irriducibili, perché non è possibile scomporli nel prodotto di due polinomi entrambi di grado inferiore. Tuttavia, è possibile raccogliere un fattore numerico in comune: $$\begin{array}{l} 2x^2+2=2(x^2+1)\\ 3x^2+3=3(x^2+1)\\ 4x^2+8=4(x^2+2)\end{array}$$
Il raccoglimento parziale
Questo è un metodo di scomposizione in 2 fasi che viene utilizzato quando nel polinomio sono presenti fattori comuni distinti per ogni gruppo di termini. Ad esempio, supponiamo di avere un polinomio di questo tipo: $$ac+bc+ad+bd+ae+be=$$
I primi 2 termini hanno in comune il fattore $c$, il terzo e il quarto il fattore $d$, il quinto e il sesto il fattore $e$. Raccogliamo i fattori comuni: $$=c(a+b)+d(a+b)+e(a+b)=$$
Il polinomio è ora formato da una somma di 3 termini, che hanno in comune il fattore $(a+b)$. Raccogliamo $(a+b)$: $$=(a+b)(c+d+e)$$
La scomposizione riconducibile ai prodotti notevoli
I prodotti notevoli ci forniscono delle regole di scomposizione in fattori. A queste si aggiungono 2 particolari regole della differenza e della somma di due cubi:
$$\begin{eqnarray} A^3-B^3 &=& (A-B)(A^2+AB+B^2)\\ A^3+B^3 &=& (A+B)(A^2-AB+B^2)\end{eqnarray}$$
Esempio: scomposizione mediante prodotti notevoli
Il polinomio $$9x^2-y^4$$ è formato da 2 termini.
Fra i prodotti notevoli che conosciamo soltanto 3 sono formati da 2 termini: $A^2-B^2$, $A^3-B^3$ e $A^3+B^3$.
Fra questi solo due contengono una sottrazione: $A^2-B^2$ e $A^3-B^3$.
Poiché $9x^2=(3x)^2$ e $y^4=(y^2)^2$, il polinomio può essere visto come differenza di quadrati.
Essendo $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, possiamo scrivere: $$9x^2-y^4=(3x-y^2)(3x+y^2)$$
La scomposizione di particolari trinomi di secondo grado
In generale, un trinomio di secondo grado del tipo $x^2+sx+p$, è scomponibile nel prodotto $(x+a)(x+b)$ se $s=a+b$ e $p=ab$. In altri termini si ha:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)}$$
Esempio: scomposizione di un trinomio di 2° grado speciale
La scomposizione mediante il teorema e la regola di Ruffini
Ricordiamo che il teorema di Ruffini ci dice che se troviamo uno zero $a$ del polinomio $A(x)$ (un valore che sostituito all'incognita $x$ fa annullare il polinomio), sappiamo che il binomio $x-a$ sarà uno dei fattori del polinomio e quindi sappiamo il polinomio si potrà scomporre come il prodotto di due fattori:
$$A(x)=(x-a)Q(x)$$
dove $Q(x)$ è il quoziente della divisione $A(x):(x-a)$.
Ma come troviamo gli zeri di un polinomio? La regola dice che possiamo limitarci a cercare gli zeri di un polinomio a coefficienti interi fra i divisori del termine noto, ma non ci assicura che gli zeri esistano.
Esempio
Dato il polinomio $$A(x)=5x^2-x-4$$ i divisori di -4 sono: $\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 4$.
Sostituendo a $x$ il valore 1, otteniamo: $$A(1)=5-1-4=0$$ quindi il polinomio è divisibile per $x-1$.
Calcoliamo il quoziente applicando la regola di Ruffini.
Pertanto $$5x^2-x-4=(x-1)(5x+4)$$