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I prodotti notevoli

La moltiplicazione fra polinomi presenta alcuni casi particolari, i cui risultati si chiamano prodotti notevoli.

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza

Il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è il binomio costituito dalla differenza fra il quadrato del monomio che non cambia segno e il quadrato del monomio che cambia segno.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(A+B)(A-B)=A^2-B^2}$$

Il risultato $A^2-B^2$ è chiamato differenza di due quadrati.

Sviluppo di differenza di quadrati:

  1. $(x+3)(x-3)=x^2-9$
  2. $\left(2yz+\frac{1}{3}c\right)\left(2yz-\frac{1}{3}c\right)=(2yz)^2-\left(\frac{1}{3}c\right)=4y^2z^2-\frac{1}{9}c^2$
  3. $(3a+5b^3)(3a-5b^3)=(3a)^2-(5b^3)^2=9a^2-25b^6$

Il quadrato di un binomio

Il quadrato di un binomio è il trinomio che ha come termini: il quadrato del primo termine, il quadrato del secondo termine e il doppio prodotto del primo per il secondo.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(A+B)^2=A^2+B^2+2AB}$$

Sviluppo di quadrati di binomi:

  1. $(2x+y)^2=(2x)^2+(y)^2+2\cdot 2x\cdot y=4x^2+y^2+4xy$
  2. $(a^3-3)^2=(a^3)^2+(-3)^2+2\cdot a^3\cdot (-3)=a^6+9-6a^3$
  3. $\left(-\frac{4}{3}x+2\right)^2=\left(-\frac{4}{3}x\right)^2+(2)^2+2\cdot\left(-\frac{4}{3}x\right)\cdot 2=\frac{16}{9}x^2+4-\frac{16}{3}x$

Il quadrato di un trinomio

Il quadrato di un trinomio è il polinomio che ha come termini i quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(A+B+C)^2=A^2+B^2+C^2+2AB+2AC+2BC}$$

Sviluppo di quadrati di trinomi :

  1. $\begin{array}{l}(a+2b+3)^2 &=a^2+(2b)^2+3^2+2\cdot a\cdot 2b+2\cdot a\cdot 3+2\cdot 2b\cdot 3=\\ &=a^2+4b^2+9+4ab+6a+12b\end{array}$
  2. $\begin{array}(3a-b-2c)^2 &=9a^2+b^2+4c^2+2\cdot 3a\cdot (-b)+2\cdot 3a\cdot (-2c)+2\cdot (-b)\cdot (-2c)=\\ &=9a^2+b^2+4c^2-6ab-12ac+4bc\end{array}$

Il cubo di un binomio

Il cubo di un binomio è il quadrinomio che ha come termini: il cubo del primo termine, il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo, il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo, il cubo del secondo termine.

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3}$$

Sviluppo di cubi di binomi:

  1. $\begin{array}{l}(2x^2-y^2)^3 &=(2x^2)^3+3(2x^2)^2(-y^2)+3(2x^2)(-y^2)^2+(-y^2)^3=\\ &=8x^6-12x^4y^2+6x^2y^4-y^6\end{array}$
  2. $\begin{array}{l}\left(a+\frac{1}{2}b\right)^3 &=a^3+3a^2\cdot\frac{1}{2}b+3a\left(\frac{1}{2}b\right)^2+\left(\frac{1}{2}b\right)^3=\\ &= a^3+\frac{3}{2}a^2b+\frac{3}{8}ab^2+\frac{1}{8}b^3\end{array}$
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