Esercizi sul raccoglimento a fattore comune

Per scomporre $14a^4-8a^2b^2$ bisogna calcolare il M.C.D. fra i termini del polinomio: $$M.C.D.(14 a^4, 8a^2b^2)=2a^2$$

Raccogliamo $2a^2$ nel polinomio dato: $$14a^4-8a^2b^2=2a^2(\dots\ \dots)$$

Dividiamo il primo termine per il M.C.D. (vai qui per approfondire la divisione tra monomi): $$14a^2:2a^2=7a^2$$ e inseriamolo tra parentesi: $$14a^4-8a^2b^2=2a^2(7a^2\ \dots)$$

Dividiamo il secondo termine per il M.C.D.: $$-8a^2b^2:2a^2=-4b^2$$ e inseriamolo tra parentesi a seguire: $$14a^4-8a^2b^2=2a^2(7a^2-4b^2)$$

Abbiamo così scomposto il polinomio di partenza raccogliendo a fattore comune il termine $2a^2$.

Scomponiamo $15a^4+6a^2b+3a$ calcolando dapprima il M.C.D. fra i termini del polinomio: $$M.C.D.(15a^4, 6a^2b, 3a)=3a$$

Raccogliamo il M.C.D. ricordando che $3a:3a=1$ $$15a^4+6a^2b+3a=3a(5a^3+2ab+1)$$

Precisiamo che $5a^3=15a^4:3a$ e $2ab=6a^2b:3a$.

Scomponiamo $\frac{2}{3}a^2b+\frac{10}{9}ab^2$ calcolando il M.C.D. della parte letterale dei termini del polinomio: $$M.C.D.(a^2b,ab^2)=ab$$

Poichè i coefficienti sono frazionari, possiamo raccogliere:

• solo la parte letterale $ab$;
• oppure $\frac{2}{3}ab$ (2 è il M.C.D. fra i numeratori 2 e 10, e 3 il M.C.D. fra i denominatori 3 e 9);
• oppure $\frac{2}{9}ab$ (9 e il m.c.m. fra i denominatori 3 e 9).

Raccogliendo solo $ab$ si ottiene: $$\frac{2}{3}a^2b+\frac{10}{9}ab^2=ab\left(\frac{2}{3}a+\frac{10}{9}b\right)$$

Raccogliendo $\frac{2}{3}ab$ si ha: $$\frac{2}{3}a^2b+\frac{10}{9}ab^2=\frac{2}{3}ab\left(a+\frac{5}{3}b\right)$$

Raccogliendo, invece, $\frac{2}{9}ab$ risulta: $$\frac{2}{3}a^2b+\frac{10}{9}ab^2=\frac{2}{9}ab(3a+5b)$$

Osserviamo che raccogliendo il M.C.D. dei numeratori e il m.c.m dei denominatori, in parentesi si hanno coefficienti interi.

Scomponiamo $3x^2-6x+5$: $$M.C.D.(3x^2,6x,5)=11$$

Poiché non è possibile raccogliere alcun fattore diverso da 1, il polinomio $3x^2-6x+5$ non è scomponibile mediante raccoglimento a fattore comune.

In questa pagina trovi diversi esempi di scomposizione di trinomi di questo tipo.

Osserviamo che: $$M.C.D.[a^2(x+y+z),a(x+y+z)]=a(x+y+z)$$

Possiamo quindi mettere a fattor comune il termine $a(x+y+z)$: $$a(x+y+z)(a-1)$$