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Esercizi sui polinomi

Esercizi sul raccoglimento parziale

Scomponi in fattori mediante il metodo di raccoglimento parziale

  1. $3bc+2ab-2a-3c$
  2. $bx-ax+(a-b)$
  3. $ax-\frac{4}{9}a-\frac{9}{4}bx+b$
  4. $4(a+b)+a(b-2a)^2+b(b-2a)^2-4-(b-2a)^2$
  5. $\left(a+\frac{1}{2}b\right)^3+3a\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-a-\frac{1}{2}b$

 

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$3bc+2ab-2a-3c$ 

Esercizio 1

Scomponiamo $3bc+2ab-2a-3c$ in due modi distinti:

  1. Raccogliamo i monomi $3c$ e $2a$: $$3bc+2ab-2a-3c=3c(b-1)+2a(b-1)=$$ e quindi raccogliamo il binomio $(b-1)$: $$=(b-1)(3c+2a)$$
  2. Raggruppiamo diversamente i termini e raccogliamo $b$ e $-1$: $$3bc+2ab-2a-3c=b(3c+2a)-1(3c+2a)=$$ ed eseguiamo il raccoglimento finale: $$=(3c+2a)(b-1)$$

$bx-ax+(a-b)$

Esercizio 2

Scomponiamo $bx-ax+(a-b)$ raccogliendo $x$ tra i primi 2 termini: $$bx-ax+(a-b)=x(b-a)+(a-b)=$$

Ricordando, poi, che $(a-b)=-(b-a)$ possiamo riscrivere la precedente espressione nel seguente modo: $$=x(b-a)-1(b-a)$$

Raccogliamo, infine, $(b-a)$: $$(b-a)(x-1)$$

 $ax-\frac{4}{9}a-\frac{9}{4}bx+b$

Esercizio 3

 Questo che segue è un tipico esempio di raccoglimento parziale con coefficienti frazionari.

Scomponiamo $ax-\frac{4}{9}a-\frac{9}{4}bx+b$ raccogliendo $a$ fra i primi 2 termini e $-\frac{9}{4}b$ fra gli altri 2 per ottenere lo stesso binomio: $$ax-\frac{4}{9}a-\frac{9}{4}bx+b=a\left(x-\frac{4}{9}\right)-\frac{9}{4}b\left(x-\frac{4}{9}\right)=$$

Infine raccogliamo il binomio $x-\frac{4}{9}$ essendo a comune tra i due addendi: $$\left(x-\frac{4}{9}\right)\left(a-\frac{9}{4}b\right)$$

$4(a+b)+a(b-2a)^2+b(b-2a)^2-4-(b-2a)^2$

Esercizio 4

Scomponiamo $4(a+b)+a(b-2a)^2+b(b-2a)^2-4-(b-2a)^2$ notando che non conviene svolgere i calcoli, bensì raccogliere il termine $(b-2a)^2$: $$\begin{array}{l} 4(a+b)+a(b-2a)^2+b(b-2a)^2-4-(b-2a)^2=\\ 4(a+b)+(b-2a)^2(a+b-1)-4=\end{array}$$

Adesso raccogliamo il 4 tra il 1° termine e l'ultimo: $$=4(a+b-1)+(b-2a)^2(a+b-1)=$$

E per finire raccogliamo il polinomio in comune $(a+b-1)$: $$=(a+b-1)[4+(b-2a)^2]=(a+b-1)(4+b^2-4ab+4a^2)$$

$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^3+3a\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-a-\frac{1}{2}b=$$

Esercizio 5

Mettendo in evidenza -1 nell'ultimo termine viene fuori $-1\left(a+\frac{1}{2}b\right)$ e questo ci permette di poter mettere in evidenza il binomio $\left(a+\frac{1}{2}b\right)$: $$=\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left[\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+3a\left(a+\frac{1}{2}b\right)-1\right]=$$

Svolgiamo i calcoli dentro la parentesi quadra: $$\begin{array}{l} =\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left[a^2+ab+\frac{1}{4}b^2+3a^2+\frac{3}{2}ab-1\right]=\\ =\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left(4a^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{5}{2}ab-1\right)\end{array}$$

$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^3+3a\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-a-\frac{1}{2}b=$

$$\left(a+\frac{1}{2}b\right)^3+3a\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2-a-\frac{1}{2}b=$$

Mettendo in evidenza -1 nell'ultimo termine viene fuori $-1\left(a+\frac{1}{2}b\right)$ e questo ci permette di poter mettere in evidenza il binomio $\left(a+\frac{1}{2}b\right)$: $$=\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left[\left(a+\frac{1}{2}b\right)^2+3a\left(a+\frac{1}{2}b\right)-1\right]=$$

Svolgiamo i calcoli dentro la parentesi quadra: $$\begin{array}{l} =\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left[a^2+ab+\frac{1}{4}b^2+3a^2+\frac{3}{2}ab-1\right]=\\ =\left(a+\frac{1}{2}b\right)\left(4a^2+\frac{1}{4}b^2+\frac{5}{2}ab-1\right)\end{array}$$

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