Webtudordimatematica
Esercizi sulle variabili aleatorie e le distribuzioni di probabilità

Esercizi sulla disuguaglianza di Cebicev risolti

Dopo aver enunciato il Teorema di Cebicev o disuguaglianza di Cebicev presentiamo alcuni esercizi di statistica in cui è necessario il suo utilizzo.

  1. Lotto con lastre di alluminio difettose
  2. Stima della produzione di automobili in una fabbrica tramite la disuguaglianza di Cebicev
  3. Determinare maggiorazioni per le probabilità mediante la disuguaglianza di Cebicev
  4. Probabilità che la tensione ai capi di un resistore si discosti dal suo valore nominale di una certa quantità
 
L'esercizio non è chiaro?

Richiedi informazioni

Le lastre di alluminio di un lotto hanno lunghezza, in centimetri, avente media aritmetica pari a 200 e varianza pari a 9. Una lastra è considerata difettosa se la sua lunghezza è inferiore a 191cm o superiore a 209cm; il lotto viene rifiutato e rinviato al produttore se contiene più del 15% di lastre difettose. Sulla base delle informazioni a disposizione, il lotto andrà accettato o rifiutato?

Esercizio 1

Poichè l'intervallo $(191;209)$ si può scrivere come $(200-3\cdot 3;200+3\cdot 3)$, per il teorema di Cebicev, almeno il $\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot 100\%=88.9\%$ dei dati è in tale intervallo; di conseguenza al più l'$11.1\%$ dei dati è maggiore di 209cm o minore di 191cm. Il lotto andrà accettato!

 

Il numero di automobili prodotte da una fabbrica in una settimana è una variabile aleatoria $X$ con valor medio $\mu=500$ e varianza $\sigma^2=100$. Qual è la probabilità che questa settimana la produzione sia compresa fra 400 e 600 automobili?

Esercizio 2

Per calcolare la probabilità utilizziamo la disuguaglianza di Cebicev $$\begin{array}{l} P(\mu-k\sigma < X < \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}\\ P(500-k\cdot 10 < X < 500+k\cdot 10)\ge 1-\frac{1}{k^2}\end{array}$$

Poichè vogliamo che $X$ sia compresa tra 400 e 600, per trovare il valore di $k$, basta imporre $$500-k\cdot 10=400\ \Rightarrow\ k=10$$

Dunque, sostituendo il valore di $k$ nella precedente espressione otteniamo: $$P(400 < X < 600)\ge 1-\frac{1}{100}=0.99$$

 

Una variabile aleatoria $X$ ha valor medio $\mu=3$ e varianza $\sigma^2=2$. Mediante la disuguaglianza di Cebicev determinare una maggiorazione per le seguenti probabilità

  1. $P(|X-3|\ge 2)$
  2. $P(|X-3|\ge 1)$
  3. $P(|X-3|\le 1.5)$
 
Esercizio 3

Le tre probabilità che si vogliono stimare sono date dalle aree colorate rispettivamente nelle figure 1,2 e 3. Ad esempio per quanto riguarda la probabilità a), l'espressione $|X-3|\ge 2$ è equivalente a $X\le 1\ \vee\ X\ge 5$ (area evidenziata in blu nella figura 1).

Grafico probabilità stimate con la disuguaglianza di Cebicev

Utilizzando la disuguaglianza di Cebicev nella seguente forma $$P(|X-\mu|\ge k\cdot\sigma)\le\frac{1}{k^2}$$ si ottiene:

  1. $P(|X-3|\ge 2)\le\frac{1}{2}$ (con $k=\sqrt{2}$)
  2. $P(|X-3|\ge 1)\le 2$ (con $k=\frac{1}{\sqrt{2}}$)

L'ultima stima è priva di interesse, perchè troppo grossolana.

Utilizzando, invece, la disuguaglianza di Cebicev nella seguente forma $$P(\mu-k\sigma \le X \le \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}$$ o equivalentemente $$P(|X-\mu|\le k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}$$ si ha: $$P(|X-3|\le k\cdot\sqrt{2})\ge 1-\frac{1}{k^2}$$

Poichè $k\sigma=1.5$ deve essere $k=\frac{1.5}{\sigma}=\frac{1.5}{\sqrt{2}}$.

Dunque una maggiorazione per la probabilità del punto c) è: $$P(|X-3|\le 1.5)\ge 1-\frac{2}{1.5^2}=\frac{1}{9}$$

Si consideri la misura della tensione ai capi di un resistore. A causa del rumore termico nel resistore, la tensione misurata $V$ è una variabile aleatoria con media pari al valore nominale $\overline{V}=5$ Volt e deviazione standard $\sigma_V=0.1$ Volt. Quanto vale la probabilità che la misura si discosti dal valore nominale $\overline{V}$ di almeno $0.2$ Volt?

Esercizio 4

Dato che non si conosce la distribuzione di $V$, possiamo solo fornire un limite superiore per tale probabilità utilizzando la disuguaglianza di Cebicev:

$$P(|X-\mu|\geq\varepsilon)\leq\left(\frac{\sigma}{\varepsilon}\right)^2$$

Sostituendo $\mu=5$, $\sigma=0.1$ e $\varepsilon=0.2$ otteniamo la probabilità richiesta:

$$P(|X-5|\geq 0.2)\leq\left(\frac{0.1}{0.2}\right)^2=0.25$$

L'esercizio non è chiaro?

Statistica
Video corsi

Video corso R per ricercatori e professionisti

Leggi tutto

Altri esercizi di statistica

Il quaderno degli appunti
Statistica e Probabilità

Tavola della distribuzione normale standard: come leggerla

La tavola della distribuzione normale standard ti permette di calcolare la probabilità a sinistra di un dato quantile o viceversa trovare il valore d
Analisi matematica

Calcolo delle derivate

La teoria dell'analisi matematica ci dice che, a norma di definizione, il calcolo della derivata di una funzione equivale al calcolo del limite del ra
Trigonometria

Teorema della corda, teorema delle proiezioni, teorema dei seni e dei coseni

Teorema della corda La misura di una corda di una circonferenza è uguale al prodotto tra la misura del diametro ed il seno di uno qualunque degli ang