Dopo aver enunciato il Teorema di Cebicev o disuguaglianza di Cebicev presentiamo alcuni esercizi di statistica in cui è necessario il suo utilizzo.
Le lastre di alluminio di un lotto hanno lunghezza, in centimetri, avente media aritmetica pari a 200 e varianza pari a 9. Una lastra è considerata difettosa se la sua lunghezza è inferiore a 191cm o superiore a 209cm; il lotto viene rifiutato e rinviato al produttore se contiene più del 15% di lastre difettose. Sulla base delle informazioni a disposizione, il lotto andrà accettato o rifiutato?
Poichè l'intervallo $(191;209)$ si può scrivere come $(200-3\cdot 3;200+3\cdot 3)$, per il teorema di Cebicev, almeno il $\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\cdot 100\%=88.9\%$ dei dati è in tale intervallo; di conseguenza al più l'$11.1\%$ dei dati è maggiore di 209cm o minore di 191cm. Il lotto andrà accettato!
Il numero di automobili prodotte da una fabbrica in una settimana è una variabile aleatoria $X$ con valor medio $\mu=500$ e varianza $\sigma^2=100$. Qual è la probabilità che questa settimana la produzione sia compresa fra 400 e 600 automobili?
Per calcolare la probabilità utilizziamo la disuguaglianza di Cebicev $$\begin{array}{l} P(\mu-k\sigma < X < \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}\\ P(500-k\cdot 10 < X < 500+k\cdot 10)\ge 1-\frac{1}{k^2}\end{array}$$
Poichè vogliamo che $X$ sia compresa tra 400 e 600, per trovare il valore di $k$, basta imporre $$500-k\cdot 10=400\ \Rightarrow\ k=10$$
Dunque, sostituendo il valore di $k$ nella precedente espressione otteniamo: $$P(400 < X < 600)\ge 1-\frac{1}{100}=0.99$$
Una variabile aleatoria $X$ ha valor medio $\mu=3$ e varianza $\sigma^2=2$. Mediante la disuguaglianza di Cebicev determinare una maggiorazione per le seguenti probabilità
Le tre probabilità che si vogliono stimare sono date dalle aree colorate rispettivamente nelle figure 1,2 e 3. Ad esempio per quanto riguarda la probabilità a), l'espressione $|X-3|\ge 2$ è equivalente a $X\le 1\ \vee\ X\ge 5$ (area evidenziata in blu nella figura 1).
Utilizzando la disuguaglianza di Cebicev nella seguente forma $$P(|X-\mu|\ge k\cdot\sigma)\le\frac{1}{k^2}$$ si ottiene:
L'ultima stima è priva di interesse, perchè troppo grossolana.
Utilizzando, invece, la disuguaglianza di Cebicev nella seguente forma $$P(\mu-k\sigma \le X \le \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}$$ o equivalentemente $$P(|X-\mu|\le k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}$$ si ha: $$P(|X-3|\le k\cdot\sqrt{2})\ge 1-\frac{1}{k^2}$$
Poichè $k\sigma=1.5$ deve essere $k=\frac{1.5}{\sigma}=\frac{1.5}{\sqrt{2}}$.
Dunque una maggiorazione per la probabilità del punto c) è: $$P(|X-3|\le 1.5)\ge 1-\frac{2}{1.5^2}=\frac{1}{9}$$
Si consideri la misura della tensione ai capi di un resistore. A causa del rumore termico nel resistore, la tensione misurata $V$ è una variabile aleatoria con media pari al valore nominale $\overline{V}=5$ Volt e deviazione standard $\sigma_V=0.1$ Volt. Quanto vale la probabilità che la misura si discosti dal valore nominale $\overline{V}$ di almeno $0.2$ Volt?
Dato che non si conosce la distribuzione di $V$, possiamo solo fornire un limite superiore per tale probabilità utilizzando la disuguaglianza di Cebicev:
$$P(|X-\mu|\geq\varepsilon)\leq\left(\frac{\sigma}{\varepsilon}\right)^2$$
Sostituendo $\mu=5$, $\sigma=0.1$ e $\varepsilon=0.2$ otteniamo la probabilità richiesta:
$$P(|X-5|\geq 0.2)\leq\left(\frac{0.1}{0.2}\right)^2=0.25$$
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
