Disuguaglianza di Cebicev

Sia $X$ una variabile aleatoria di speranza matematica $\mu$ e varianza $\sigma$ e $k$ un numero reale positivo, allora il teorema di Cebicev afferma che la probabilità che $X$ assuma un valore compreso tra $\mu-k\sigma$ e $\mu+k\sigma$ è maggiore di $1-\frac{1}{k^2}$. In simboli:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{P(\mu-k\sigma \le X \le \mu+k\sigma)\ge 1-\frac{1}{k^2}}\quad (\bigstar )$$

che equivale alla disuguaglianza $$P(|X-\mu|\ge k\cdot\sigma)\le\frac{1}{k^2}$$

Nell'ambito della statistica descrittiva, la disuguaglianza di Cebicev afferma che almeno il $\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\cdot 100\%$ dei valori è nell'intervallo sopra detto.

Da questa disuguaglianza si deduce che:

  • almeno il 75% dei valori sono compresi tra $\mu-2\sigma$ e $\mu+2\sigma$
  • almeno il 89% dei valori sono compresi tra $\mu-3\sigma$ e $\mu+3\sigma$
  • almeno il 94% dei valori sono compresi tra $\mu-4\sigma$ e $\mu+4\sigma$
  • almeno il 96% dei valori sono compresi tra $\mu-5\sigma$ e $\mu+5\sigma$
  • almeno il 99% dei valori sono compresi tra $\mu-10\sigma$ e $\mu+10\sigma$

indipendentemente da come sono distribuiti i valori.

Altra formulazione della disuguaglianza di Cebicev

Considerando $\varepsilon$ un valore reale posititivo, la disuguaglianza di Cebicev proviene dalla disuguaglianza di Markov:

$$P(X\geq\varepsilon)\leq\frac{E[X]}{\varepsilon}$$

Infatti, applicando tale disuguaglianza alla variabile aleatoria $(X-E[X])^2$, otteniamo:

$$\begin{array}{l} P((X-E[X])^2\geq\varepsilon^2)\leq\frac{E[(X-E[X])^2]}{\varepsilon^2}\\ P(|X-E[X]|\geq\varepsilon)\leq\frac{VAR(X)}{\varepsilon^2}\\ P(|X-E[X]|\leq\varepsilon)\geq 1-\frac{VAR(X)}{\varepsilon^2}\end{array}$$

Quest'ultima disuguaglianza ottenuta, è l'equivalente della $\bigstar$ con $k=\frac{\varepsilon}{\sigma}$.

Applicazione della disuguaglianza di Cebicev

I tubi di acciaio di un lotto hanno diametro, in millimetri, avente media aritmetica pari a 100 e varianza pari a 4. Un tubo è considerato difettoso se il suo diametro è inferiore a 90mm o superiore a 110mm; il lotto viene rifiutato e rinviato al produttore se contiene più del 6% di tubi difettosi. Sulla base delle informazioni a disposizione, il lotto andrà accettato o rifiutato?

Svolgimento

Poichè l'intervallo $(90;110)$ si può scrivere come $(100-5\cdot2;100+5\cdot2)$, per il teorema di Cebicev, almeno il $\left(1-\frac{1}{5^2}\right)\cdot 100\%=96\%$ dei dati è in tale intervallo; di conseguenza al più il $4\%$ dei dati è maggiore di 110mm o minore di 90mm. Il lotto andrà accettato!

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