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Esercizi sulle distribuzioni di probabilità continue

Calcolo valore atteso e varianza (caso continuo)

Stai cercando esercizi svolti sul calcolo del valore atteso di variabili aleatorie assolutamente continue? Sei nella pagina giusta! Ricorda che qualora non dovessi capire qualche passaggio, fai riferimento alla sezione delle formule e teoria delle variabili aleatorie continue (click!)

  1. Calcolare il valore atteso di una variabile aleatoria continua con funzione di densità data.
  2. Calcolo valore atteso e varianza di una trasformazione di VA nota la funzione di ripartizione della variabile trasformata.

Inoltre, se vuoi esercitarti tu stesso, ti propongo alcuni esercizi sul calcolo del valore atteso e della varianza da svolgere (clicca qui).

 
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Data la funzione: $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{x} & \mbox{se }\frac{2}{e+1}\leq x\leq \frac{2e}{e+1}\\ 0& \mbox{altrove }\end{cases}$$ Calcolare il valore atteso e la varianza di $X$.

Esercizio 1

Per la definizione di valore atteso di una variabile aleatoria continua, dobbiamo integrare il prodotto $x\cdot f(x)$ tra gli estremi dell'intervallo in cui la f è non nulla, ossia: $$\begin{eqnarray*} E(X)&=& \int_{\frac{2}{e+1}}^{\frac{2e}{e+1}}x\cdot \frac{1}{x}\ dx=\\ &=& [x]_{\frac{2}{e+1}}^{\frac{2e}{e+1}}=\\ &=& \frac{2e}{e+1}-\frac{2}{e+1}=\\ &=& \frac{2e-2}{e+1}=2\frac{e-1}{e+1} \end{eqnarray*}$$

Per calcolare la varianza invece, va integrata la quantità $x^2f(x)$ e sottrarre il quadrato del valore atteso appena trovato: $$\begin{eqnarray*} VAR(X)&=& \int_{\frac{2}{e+1}}^{\frac{2e}{e+1}}x^2\cdot \frac{1}{x}\ dx -\left(2\frac{1-e}{e+1}\right)^2=\\ &=& \bigg[\frac{x^2}{2}\bigg]_{\frac{2}{e+1}}^{\frac{2e}{e+1}}-4\frac{(e-1)^2}{(e+1)^2}=\\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{2e}{e+1}\right)^2-\frac{1}{2}\left(\frac{2}{e+1}\right)^2-4\frac{(e-1)^2}{(e+1)^2}=\\ &=& \frac{1}{2}\frac{4e^2}{(e+1)^2}-\frac{1}{2}\frac{4}{(e+1)^2}-4\frac{(e-1)^2}{(e+1)^2}=\\ &=& \frac{2e^2-2-4(e-1)^2}{(e+1)^2}=\\ &=& \frac{2e^2-2-4e^2+8e-4}{(e+1)^2}=\\ &=& -2\frac{e^2-4e+8e+3}{(e+1)^2} \end{eqnarray*}$$

 

Sia X una VA con la seguente funzione di densità (per $a\in\mathbb{R^+}$) $$f_X(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{altrove } \\ a(x-1)^{a-1} & \mbox{se } 1< x < 2\end{cases}$$ Si calcoli $E(X-1)$ e $VAR(X-1)$.

Esercizio 2

Dalla proprietà di linearità del valore atteso possiamo scrivere: $$E(X-1)=E(X)-E(1)=E(X)-1$$ dove $$\begin{eqnarray*} E(X) &=& \int_1^2x\cdot a(x-1)^{a-1}\ dx\quad\underset{=}{\mbox{per parti}}\\ &=& [x\cdot(x-1)^a]_1^2-\int_1^2(x-1)^a\ dx=\\ &=& \bigg[x\cdot(x-1)^a-\frac{(x-1)^{a+1}}{a+1}\bigg]_1^2=\\ &=& =2-\frac{1}{a+1} \end{eqnarray*}$$

Infine il valore atteso sarà: $$E(X-1)=2-\frac{1}{a+1}-1=\frac{a}{a+1}$$

La varianza, invece, è data da: $$VAR(X-1)=VAR(X)-VAR(1)=VAR(X)-0=VAR(X)$$ dove $$VAR(X) \int_1^2x^2\cdot a(x-1)^{a-1}\ dx-\left(\frac{a}{a+1}\right)^2$$

Applicando l'integrazione per parti due volte, l'integrale sopra diventa: $$x^2(x-1)^a-\frac{2}{a+1}\bigg[(x-1)^{a+1}-\frac{(x-1)^{a+2}}{a+2}\bigg]$$ il quale calcolato negli estremi 1 e 2 diventa: $$4\cdot 2^a-\frac{a\cdot 2^{a+2}}{(a+1)(a+2)}$$

Infine, otteniamo: $$VAR(X-1)=4\cdot 2^a-\frac{a\cdot 2^{a+2}}{(a+1)(a+2)}-\frac{a^2}{(a+1)^2}$

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