Varianza di una V.A.

Si definisce varianza della variabile aleatoria $X$ il valore atteso del quadrato della differenza tra $X$ e la media $\mu$, ovvero

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sigma^2=VAR(X)=E\left[(X-\mu)^2\right]}$$

dove $\mu$ è il valor medio di $X$.

La radice quadrata non negativa della varianza è chiamata scarto quadratico medio o deviazione standard di $X$:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sigma=\sqrt{VAR(X)}=\sqrt{E\left[(X-\mu)^2\right]}}$$

La varianza è un indice di dispersione dei valori della variabile aleatoria X attorno al valor medio $\mu$.

Più tali valori sono concentrati attorno al valor medio, minore sarà la varianza. Viceversa, più lontano si trovano i valori, maggiore sarà la varianza.

Il grafico seguente mostra due esempi di funzione di densità di variabili aleatorie con lo stesso valor medio ma varianza differente.

COnfronto delle varianze di due densità di probabilità aventi ugual valor medio

Varianza e scarto quadratico medio nel caso discreto

Sia $X$ una variabile aleatoria discreta, i cui valori possibili sono $x_1,x_2,\dots ,x_n$ assunti rispettivamente con probabilità $f(x_1),f(x_2),\dots ,f(x_n)$.

Chiamiamo varianza della variabile aleatoria X avente valor medio $\mu$ la quantità

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sigma^2=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2f(x_i)}$$

Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la quantità

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2f(x_i)}}$$

La varianza può essere calcolata in un modo che talvolta risulta più comodo da usare negli esercizi. Infatti si ha:

$\begin{array}{l} \sigma^2 &=\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2f(x_i)=\sum\limits_{i=1}^n\left(x_i^2-2x_i\mu+\mu^2\right)f(x_i)=\sum\limits_{i=1}^n x_i^2f(x_i)-2\mu\sum\limits_{i=1}^n x_if(x_i)+\mu^2\sum\limits_{i=1}^n f(x_i)=\\ &=\sum\limits_{i=1}^n x_i^2f(x_i)-2\mu^2+\mu^2=\sum\limits_{i=1}^n x_i^2f(x_i)-\mu^2\end{array}$

Esempio di calcolo della varianza di una variabile aleatoria discreta

Trovare la varianza della variabile aleatoria X definita come il numero di teste ottenute con tre lanci successivi di una moneta.

Calcoliamo la distribuzione di probabilità.

I casi possibili sono $2^3=8$ ovvero:

  1. CCC (X=0)
  2. TCC (X=1)
  3. CTC (X=1)
  4. CCT (X=1)
  5. TTC (X=2)
  6. CTT (X=2)
  7. TCT (X=2)
  8. TTT (X=3)

Per cui, la distribuzione di probabilità sarà:

Funzione di distribuzione o funzione di probabilità cumulativa (CDF)

Possiamo calcolare il valore atteso:

$\mu=E(X)=0\cdot\frac{1}{8}+1\cdot\frac{3}{8}+2\cdot\frac{3}{8}+3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}+\frac{3}{4}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}$

Infine calcoliamo la varianza:

$\sigma^2=VAR(X)=\sum\limits_{i=1}^4\left(x_i-\frac{3}{2}\right)^2=\left(-\frac{3}{2}\right)^2\frac{1}{8}+\left(1-\frac{3}{2}\right)^2\frac{3}{8}+\left(2-\frac{3}{2}\right)^2\frac{3}{8}+\left(3-\frac{3}{2}\right)^2\frac{1}{8}=\frac{3}{4}$

Varianza e scarto quadratico medio nel caso continuo

Sia $X$ una variabile aleatoria continua con densità di probabilità $f(x)$.

Si definisce varianza della variabile aleatoria continua $X$ il seguente integrale:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sigma^2=E\left[(X-\mu)^2\right]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)\ dx}$$

Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard della variabile aleatoria continua $X$ la radice quadrata della sua varianza:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sigma=\sqrt{\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f(x)\ dx}}$$

Anche in questo caso si può usare la forma semplificata per calcolare la varianza:

$$\sigma^2=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x)\ dx-\mu^2$$

Esempio di calcolo della varianza di una variabile aleatoria continua

Data la densità di probabilità $$f(x)=\begin{cases} \frac{2(x+1)}{3} & \mbox{se } 0 < x < 1\\ 0 & \mbox{altrimenti}\end{cases}$$ trovare il valor medio e la varianza

Applicando le formule esposte sopra si ha:

$\begin{array}{l} \mu=\int\limits_0^1x\cdot\frac{2(x+1)}{3}\ dx=\frac{2}{3}\int\limits_0^1(x^2+x)\ dx =\frac{2}{3}\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right]_0^1=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{9}\\ \sigma^2=\int\limits_0^1x^2\cdot\frac{2(x+1)}{3}\ dx-\left(\frac{5}{9}\right)^2=\frac{2}{3}\int\limits_0^1(x^3+x^2)\ dx-\frac{25}{81}=\frac{13}{162}\end{array}$  

Proprietà della varianza per variabili aleatorie indipendenti

Sia $X$ e $Y$ due variabili aleatorie indipendenti e $a,b\in\mathbb R$. Valgono le seguenti:

  • $VAR(aX+b)=a^2VAR(X)$
  • $VAR(aX-b)=a^2VAR(X)$
  • $VAR(aX+bY)=a^2VAR(X)+b^2VAR(Y)$
  • $VAR(aX-bY)=a^2VAR(X)+b^2VAR(Y)$

Analogamente a quanto fatto per il valor medio, la varianza di qualsiasi combinazione lineare di variabili aleatorie indipendenti $X_1,X_2,\dots ,X_n$ si calcola così:

$$VAR(a_1X_1,a_2X_2,\dots ,a_nX_n)=a_1^2VAR(X_1)+a_2^2VAR(X_2)+\dots +a_n^2VAR(X_n)\quad\quad a_1,a_2,\dots ,a_n\in\mathbb R$$

Si noti che, a differenza della varianza, il valore atteso è una funzione lineare.

Infine, si dimostra che il valore atteso del quadrato di un numero aleatorio si può calcolare come segue:

$$E(X^2)=VAR(X)+[E(X)]^2$$

Come si vede, quest'ultima formula mette in relazione la varianza con il valore atteso.

Scopri come calcolare la varianza per eventi dipendenti cliccando qui

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