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Valore atteso o valore medio di una V.A.

Data una variabile aleatoria $X$, alla sua distribuzione o funzione di densità $f(x)$ sono associati dei numeri, detti parametri della distribuzione o della densità di probabilità. Essi hanno lo stesso significato degli indici di posizione e di dispersione per un insieme di dati.

In questo articolo parleremo del valore medio e delle formule di calcolo sia nel caso continuo che in quello discreto.

Valor medio nel caso discreto

Supponiamo di avere una variabile aleatoria discreta $X$ che possa assumere i valori $x_1,x_2,\dots ,x_n$ rispettivamente con probabilità

$$P(X=x_1)=f(x_1),\quad\quad P(X=x_2)=f(x_2),\quad\dots\quad ,P(X=x_n)=f(x_n)$$

Chiamiamo valor medio o speranza matematica di una variabile aleatoria discreta X la sommatoria dei prodotti tra i valori $x_i$ e la rispettiva probabilità $f(x_i)$, ossia

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mu=E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)+\dots +x_nP(X=x_n)=\sum\limits_{i=1}^n x_iP(X=x_i)=\sum\limits_{i=1}^n x_if(x_i)}$$

Il valor medio o valore atteso di X indica attorno a quale valore ci si aspetta che cadano i valori assunti da X; esso rappresenta quindi, una misura di tendenza centrale.

Esempio di calcolo del valore atteso per una distribuzione discreta

Supponiamo che la variabile aleatoria X indichi la somma dei punti ottenuti con il lancio di due dadi. Calcolare il punteggio totale atteso.

La distribuzione di probabilità f(x) è la seguente:

Funzione di densità di probabilità

Il valore atteso si calcola così:

$\mu=E(X)=\sum\limits_{i=2}^{12} x_if(x_i)=2\cdot\frac{1}{36}+3\cdot\frac{2}{36}+4\cdot\frac{3}{36}+\dots +11\cdot\frac{2}{36}+12\cdot\frac{1}{36}=7$

Valor medio nel caso continuo

Sia adesso $X$ una variabile aleatoria continua con densità di probabilità $f(x)$

Si definisce valore medio o valore atteso di una variabile aleatoria continua $X$ l'integrale esteso in tutto $\mathbb R$ del prodotto tra $x$ e la funzione di densità $f(x)$

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mu=E(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\ dx}$$

Esempio di calcolo del valore atteso per una distribuzione continua

Sia data la densità di probabilità $$f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2}x & \mbox{se } 0\le x\le 2\\ 0 &\mbox{altrimenti}\end{cases}.$$ Calcolarne il valore atteso.

Si ha che:

$\mu=E(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\ dx=\int\limits_{0}^{2}x\cdot\frac{1}{2}x\ dx=\int\limits_{0}^{2}\frac{1}{2}x^2\ dx=\frac{1}{2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2=\frac{1}{2}\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$

Proprietà del valor medio

Sia $X$ e $Y$ due variabili aleatorie indipendenti e $a,b\in\mathbb R$. Valgono le seguenti:

  • $E(aX+b)=aE(X)+b$
  • $E(aX-b)=aE(X)-b$
  • $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$
  • $E(aX-bY)=aE(X)-bE(Y)$

Grazie a queste proprietà possiamo calcolare il valore atteso di qualsiasi combinazione lineare di variabili aleatorie indipendenti $X_1,X_2,\dots ,X_n$ nel seguente modo:

$$E(a_1X_1,a_2X_2,\dots ,a_nX_n)=a_1E(X_1)+a_2E(X_2)+\dots +a_nE(X_n)\quad\quad a_1,a_2,\dots ,a_n\in\mathbb R$$  

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