Siano $X$ e $Y$ i seguenti insiemi numerici: $$X=\bigg\{1-\frac{1}{n^2+1}:n\in\mathbb N\bigg\}$$ $$Y=]1,+\infty[\ \cap\ \mathbb Z$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?
Osserviamo da quali elementi sono composti i due insiemi:
$$X=\bigg\{0,\frac{1}{2},\frac{4}{5},\dots \bigg\}$$ $$Y=\{2,3,4,\dots ,\}$$
L'unico punto di accumulazione per $X$ è il limite della successione dentro le parentesi graffe, e si trova calcolando:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}1-\frac{1}{n^2+1}=1$$
Dunque il derivato di $X$ è l'insieme formato solo dal punto 1:
$$DX=\{1\}$$
Dato che l'insieme $Y$ non ha punti di accumulazione, il derivato di $Y$, è l'insieme vuoto:
$$DY=\emptyset$$
Per quanto detto si ha $DX\cap DY=\emptyset$, ragion per cui la 1) è FALSA.
Poichè sia $X$ che $Y$ non hanno punti interni, l'unione dei loro interni è l'insieme vuoto e quindi anche la 2) è falsa:
$$\mathop X\limits ^\circ\cup\mathop Y\limits ^\circ =\emptyset$$
La 3) è VERA perchè
$$X\cup\{1\}=\bigg\{0,\frac{1}{2},\frac{4}{5},\dots ,1\bigg\}$$
e
$$Y\cup\{1\}=\{1,2,3,4,\dots ,\}$$
i quali sono due insiemi separati perchè tutti gli elementi di $X$ sono minori o uguali a tutti quelli di $Y$ e sono pure contigui dato che
$$\inf \{Y\cup\{1\}\}=\min \{Y\cup\{1\}\}=1=\sup \{X\cup\{1\}\}=\max \{X\cup\{1\}\}$$
La frontiera di $X$ è formato da tutti gli elementi di $X$ più l'elemento limite della successione, ossia 1:
$$FX=X\cup\{1\}\neq X$$
Di conseguenza, la 4) è falsa.
