Si determini l'intervallo di convergenza, precisando il comportamento agli estremi, della seguente serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{\pi}{n} \ x^n $$
Si tratta di una serie di potenza con centro in $x_0 = 0$ e coefficiente $a_n = \frac{1}{n} \sin \frac{\pi}{n} $.
Calcoliamo come prima cosa il raggio di convergenza della serie, applicando il criterio di D'Alambert e cioè calcolando il seguente limite per $n \rightarrow +\infty$
\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| &=& \left| \frac{\frac{1}{n+1} \ \sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{1}{n} \ \sin \frac{\pi}{n}} \right| = \frac{n}{n+1}\ \frac{\left| \sin \frac{\pi}{n+1} \right| } {\left| \sin \frac{\pi}{n}\right|} = \frac{n}{n+1} \ \frac{\sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}} \ \frac{\pi}{n+1} \ \frac{n}{\pi} \ \frac{\frac{\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}} =\\ &=& \frac{n^2}{(n+1)^2} \ \frac{\sin \frac{\pi}{n+1}}{\frac{\pi}{n+1}} \ \frac{\frac{\pi}{n}}{\sin \frac{\pi}{n}} \rightarrow 1 \end{eqnarray*}
visto che ogni singola frazione tende a $1$ nel limite per $n \rightarrow +\infty$. Il raggio di convergenza è quindi $R = 1$. Allora, per il teorema di convergenza per le serie di potenze, la serie converge puntualmente in ogni $x : |x-x_0|< R$, ovvero
$$I_c\ = \ ]-1,\ 1[$$
Lo stesso teorema garantisce che la serie di potenze converge uniformemente in ogni intervallo chiuso e limitato del tipo $[x_0-k, \ x_0+k]$, con $ k\in ]0,\ R[ $. Quindi nel nostro caso, la serie converge puntualmente in $I_c$ ed uniformemente in ogni intervallo $[-k,\ k],\ k \in ]0, \ 1[$.
Vediamo il comportamento della serie agli estremi. Per $x = - 1$ la serie diventa la seguente serie a segni alterni:
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n} \sin \frac{\pi}{n}$$
Notiamo che sono verificate tutte le ipotesi del Teorema di Leibiniz, ovvero
$$a_n = \frac{1}{n} \sin \frac{\pi}{n} \quad \mbox{ monotona descrescente per } n>1 $$ $$\frac{1}{n} \sin \frac{\pi}{n} \rightarrow 0 \quad \mbox{per} \quad n \rightarrow +\infty$$
quindi per il criterio di Leibiniz la serie converge anche in $-1$.
Per $x=1$ la serie diventa
$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{\pi}{n}$$
Adesso osserviamo che vale la seguente maggiorazione per il seno
$$\sin t \leq t \quad t \in [0, \pi] \Rightarrow \frac{1}{n} \sin \frac{\pi}{n} \leq \frac{1}{n} \ \frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{n^2}$$
che converge in quanto è la serie armonica con esponente maggiore di 1.
In definitiva, l'intervallo di convergenza è $I_c = [-1, \ 1]$ e l'esercizio è così concluso.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
