Il coefficiente binomiale è un numero molto importante nel calcolo delle probabilità in generale e più precisamente nel calcolo combinatorio. Si indica con il simbolo ${n \choose k}$ ed è dato dal rapporto tra il fattoriale di n e il prodotto del fattoriale di k e del fattoriale di n-k, in formule:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{{n \choose k}=\cfrac{n!}{k!\cdot(n-k)!}}$$
dove, per definizione, il fattoriale di un numero intero non negativo n è il prodotto dei numeri interi da 1 a n, ossia: $$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dots 3\cdot 2\cdot 1$$
Ma cosa indica esattamente e quando viene utilizzato?
Guarda il video qui sotto che ho registrato oppure prosegui con la lettura
Il coefficiente binomiale come detto è molto utilizzato nel calcolo combinatorio e nello specifico serve per calcolare le combinazioni semplici di n oggetti raggruppati a k a k ($C_{n,k}$). In altre parole, il coefficiente binomiale di n oggetti di classe k conta il numero di modi con cui si possono raggruppare n oggetti formando gruppi di k elementi. Nel video sopra ti mostro alcuni esercizi sul coefficiente binomiale svelandoti un trucco per semplificare i conti. Non perdertelo!
$$\begin{eqnarray}{6\choose 3}&=&\cfrac{6!}{3!\cdot (6-3)!}\\&=&\cfrac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\cdot 2 \cdot 1}{(3\cdot 2\cdot 1)(3\cdot 2\cdot 1)}\\&=&20\end{eqnarray}$$
Un'altra applicazione del coefficiente binomiale riguarda un modello probabilistico noto come distribuzione binomiale (ecco da dove prende il nome), il quale descrive la probabilità di ottenere un certo numero di successi dall'esecuzione di un esperimento che consiste in n prove indipendenti ed equiprobabili. Te ne ho parlato in maniera più dettagliata in questo articolo.
Proprietà del coefficiente binomiale
Per semplificare e velocizzare il calcolo del coefficiente binomiale, possono essere utilizzate le seguenti proprietà derivanti dalla definizione di fattoriale:
- Coefficiente binomiale di un numero su zero fa 1: $\Large{n \choose 0}=1$
- Coefficiente binomiale di un numero su se stesso fa 1: $\Large{n \choose n}=1$
- Coefficiente binomiale di un numero su uno fa il numero stesso: $\Large{n \choose 1}=n$
- Coefficiente binomiale di un numero sul suo precedente fa il numero stesso: $\Large{n \choose n-1}=n$
- $\Large{4 \choose 0}=1$
- $\Large{5 \choose 5}=1$
- $\Large{6\choose 1}=6$
- $\Large{6 \choose 5}=6$
