La distribuzione binomiale (o distribuzione di Bernoulli) rappresenta la distribuzione di probabilità di prove ripetute indipendenti quando i risultati di ciascuna prova sono solo due: successo o insuccesso.
Ad esempio, nel lancio di una moneta, i risultati possibili sono testa e croce; la distribuzione di probabilità relativa ad $n$ lanci è una distribuzione binomiale e mostra la probabilità che si verifichino $0,1,2,\dots ,n$ volte testa (testa rappresenta un successo, croce rappresenta un insuccesso).
Si hanno le seguenti proprietà:
- Ad ogni singola prova si hanno solo 2 esiti possibili, chiamati "successo" e "insuccesso". La probabilità associata al successo si indica con $p$, mentre quella associata all'insuccesso si indica con $1-p$.
- La probabilità dell'evento che da origine al successo è costante, ovvero uguale a $p$ per tutte le $n$ prove.
- I risultati delle prove sono indipendenti (ovvero il verificarsi di un risultato in una determinata prova non influenza il risultato delle altre prove).
Quindi, se indichiamo con la variabile aleatoria $X$ il numero di successi ottenuti in $n$ prove (bernoulliane), diremo che $X$ ha distribuzione binomiale con parametri $n$ e $p$ (in simboli $X\sim B(n,p)$). È chiaro che $X$ può assumere solo valori discreti da $0$ fino ad $n$.
Funzione di probabilità e funzione di ripartizione di una binomiale
Si può verificare che la funzione di probabilità di $X$, ossia la probabilità che $X$ assuma un determinato valore $x$ risulta:
$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{P(X=x)={n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}}$$
Rivedi la definizione di coefficiente binomiale ${n\choose x}$.
Invece, la funzione di ripartizione di $X$, ossia la probabilità che $X$ assuma un valore minore o uguale ad un certo $k$ intero è:
$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{F(X=k)=P(X\le k)=\sum\limits_{x=0}^k {n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}}$$
Esempio di calcolo della funzione di probabilità di una variabile binomiale.
Consideriamo il lancio di un dado; indichiamo con successo l'uscita della faccia contrassegnata 6 e con insuccesso l'uscita di qualsiasi altra faccia; risulta $p=\frac{1}{6}$, $1-p=\frac{5}{6}$. Se si effettuano 5 lanci, qual è la probabilità di ottenere due successi, ossia la probabilità che la variabile $X$ assuma il valore $2$?
Usando la formula data sopra abbiamo:
$$P(X=2)={5\choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3$$Esempio di calcolo della funzione di ripartizione di una variabile binomiale
Se il 20% delle persone di una certa regione ha gli occhi azzurri, determinare la probabilità che in un gruppo di 10 bambini, non più di 3 abbiano gli occhi azzurri.
La probabibilità che un bambino abbia gli occhi azzurri è $p=20\%=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. La probabilità richiesta è data da:
$$\begin{eqnarray} P(X\le 3)&=&\sum\limits_{x=0}^3 {10\choose x}\left(\frac{1}{5}\right)^x\left(1-\frac{1}{5}\right)^{n-x}=\\ &=&{10\choose 0}\left(\frac{1}{5}\right)^0\left(\frac{4}{5}\right)^{10}+{10\choose 1}\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^{9}+\\ &+&{10\choose 2}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^{8}+{10\choose 3}\left(\frac{1}{5}\right)^3\left(\frac{4}{5}\right)^{7}=\\ &=& \left(\frac{4}{5}\right)^{10}+2\left(\frac{4}{5}\right)^{9}+\frac{9}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^8+\frac{24}{25}\left(\frac{4}{5}\right)^7\simeq 0,8791\end{eqnarray}$$Calcolo della probabilità contraria di una variabile aleatoria binomiale
Se $X$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale con $n=10$ e probabilità $p$ vediamo come calcolare le seguenti probabilità:
$$\begin{eqnarray} P(X\ge 8)&=&\sum\limits_{x=8}^{10} {10\choose x}p^x(1-p)^{n-x}=\\ &=&{10\choose 8}p^8(1-p)^{2}+{10\choose 9}p^9(1-p)^{1}+{10\choose 10}p^{10}(1-p)^0\end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} P(X\ge 2)&=&1-P(X < 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=\\ &=&1-{10\choose 0}p^0(1-p)^{10}-{10\choose 1}p^1(1-p)^{9}\end{eqnarray}$$
Parametri della distribuzione binomiale
Si può verificare che se $X$ si distribuisce secondo una binomiale di parametri $n$ e $p$, si possono calcolare facilmente i seguenti parametri:
| Nome parametro | Calcolo parametro |
|---|---|
| Media o valore atteso | $$E(X)=\mu=n\cdot p$$ |
| Varianza | $$VAR(X)=\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p)$$ |
| Deviazione standard | $$DEV(X)=\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$$ |
| Coefficiente di asimmetria | $$\alpha=\frac{(1-p)p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}$$ |
| Coefficiente di Curtosi | $$k=3+\frac{1-6p(1-p)}{n\cdot p\cdot (1-p)}$$ |