La distribuzione binomiale (o distribuzione di Bernoulli) rappresenta la distribuzione di probabilità di prove ripetute indipendenti quando i risultati di ciascuna prova sono solo due: successo o insuccesso.
Ad esempio, nel lancio di una moneta, i risultati possibili sono testa e croce; la distribuzione di probabilità relativa ad $n$ lanci è una distribuzione binomiale e mostra la probabilità che si verifichino $0,1,2,\dots ,n$ volte testa (testa rappresenta un successo, croce rappresenta un insuccesso).
In fondo alla pagina trovi una video lezione sulla distribuzione binomiale. Scrolla in basso se vuoi vederla.
Proprietà della distribuzione binomiale
Si hanno le seguenti proprietà:
- A ogni singola prova si hanno solo 2 esiti possibili, chiamati "successo" e "insuccesso". La probabilità associata al successo si indica con $p$, mentre quella associata all'insuccesso si indica con $1-p$.
- La probabilità dell'evento che da origine al successo è costante, ovvero uguale a $p$ per tutte le $n$ prove.
- I risultati delle prove sono indipendenti (ovvero il verificarsi di un risultato in una determinata prova non influenza il risultato delle altre prove).
Quindi, se indichiamo con la variabile aleatoria $X$ il numero di successi ottenuti in $n$ prove (bernoulliane), diremo che $X$ ha distribuzione binomiale con parametri $n$ e $p$ (in simboli $X\sim B(n,p)$). È chiaro che $X$ può assumere solo valori discreti da $0$ fino ad $n$.
Se la teoria è già chiara e vuoi passare agli esercizi svolti clicca sul bottone qui sotto.
Funzione di probabilità e funzione di ripartizione di una binomiale
Si può verificare che la funzione di probabilità di $X$, ossia la probabilità che $X$ assuma un determinato valore $x$ risulta:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(X=x)={n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}}$$
Rivedi la definizione di coefficiente binomiale ${n\choose x}$.
Invece, la funzione di ripartizione di $X$, ossia la probabilità che $X$ assuma un valore minore o uguale ad un certo $k$ intero è:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{F(X=k)=P(X\le k)=\sum\limits_{x=0}^k {n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}}$$
Esempio di calcolo della funzione di probabilità di una variabile binomiale
Consideriamo il lancio di un dado; indichiamo con successo l'uscita della faccia contrassegnata 6 e con insuccesso l'uscita di qualsiasi altra faccia; risulta $p=\frac{1}{6}$, $1-p=\frac{5}{6}$. Se si effettuano 5 lanci, qual è la probabilità di ottenere due successi, ossia la probabilità che la variabile $X$ assuma il valore $2$?
Usando la formula data sopra abbiamo:
$$P(X=2)={5\choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^3$$
Esempio di calcolo della funzione di ripartizione di una variabile binomiale
Se il 20% delle persone di una certa regione ha gli occhi azzurri, determinare la probabilità che in un gruppo di 10 bambini, non più di 3 abbiano gli occhi azzurri.
La probabibilità che un bambino abbia gli occhi azzurri è $p=20\%=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$. La probabilità richiesta è data da:
$$\begin{eqnarray} P(X\le 3)&=&\sum\limits_{x=0}^3 {10\choose x}\left(\frac{1}{5}\right)^x\left(1-\frac{1}{5}\right)^{n-x}=\\ &=&{10\choose 0}\left(\frac{1}{5}\right)^0\left(\frac{4}{5}\right)^{10}+{10\choose 1}\left(\frac{1}{5}\right)^1\left(\frac{4}{5}\right)^{9}+\\ &+&{10\choose 2}\left(\frac{1}{5}\right)^2\left(\frac{4}{5}\right)^{8}+{10\choose 3}\left(\frac{1}{5}\right)^3\left(\frac{4}{5}\right)^{7}=\\ &=& \left(\frac{4}{5}\right)^{10}+2\left(\frac{4}{5}\right)^{9}+\frac{9}{5}\left(\frac{4}{5}\right)^8+\frac{24}{25}\left(\frac{4}{5}\right)^7\simeq 0,8791\end{eqnarray}$$
Calcolo della probabilità contraria di una variabile aleatoria binomiale
Se $X$ è una variabile aleatoria con distribuzione binomiale con $n=10$ e probabilità $p$ vediamo come calcolare le seguenti probabilità:
$$\begin{eqnarray} P(X\ge 8)&=&\sum\limits_{x=8}^{10} {10\choose x}p^x(1-p)^{n-x}=\\ &=&{10\choose 8}p^8(1-p)^{2}+{10\choose 9}p^9(1-p)^{1}+{10\choose 10}p^{10}(1-p)^0\end{eqnarray}$$ $$\begin{eqnarray} P(X\ge 2)&=&1-P(X < 2)=1-P(X=0)-P(X=1)=\\ &=&1-{10\choose 0}p^0(1-p)^{10}-{10\choose 1}p^1(1-p)^{9}\end{eqnarray}$$
Parametri della distribuzione binomiale
Si può verificare che se $X$ si distribuisce secondo una binomiale di parametri $n$ e $p$, si possono calcolare facilmente i seguenti parametri:
| Nome parametro | Calcolo parametro |
|---|---|
| Media o valore atteso | $$E(X)=\mu=n\cdot p$$ |
| Varianza | $$VAR(X)=\sigma^2=n\cdot p\cdot (1-p)$$ |
| Deviazione standard | $$DEV(X)=\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}$$ |
| Coefficiente di asimmetria | $$\alpha=\frac{(1-p)p}{\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}}$$ |
| Coefficiente di Curtosi | $$k=3+\frac{1-6p(1-p)}{n\cdot p\cdot (1-p)}$$ |
Guarda il video che ho registrato se preferisci una spiegazione orale della distribuzione binomiale.