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Combinazioni

Le combinazioni entrano in gioco nel momento in cui i raggruppamenti di k posti che vogliamo contare prescindono dall'ordine in cui sistemiamo gli oggetti ma cambiano soltanto in base a quali oggetti includiamo tra gli n.

Combinazioni semplici

Si dicono combinazioni semplici degli n elementi di A a k a k (o di classe k), $C_{n,k}$, tutti i raggruppamenti non ordinati formati con k elementi distinti di A.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{C_{n,k}=\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}$$

Pertanto, due qualunque combinazioni semplici di A della stessa classe k differiscono per almeno un elemento ("qualità").

Esempio combinazioni semplici

Sia $A=\{a_1,a_2,a_3\}$, si ha $n=3$ e $1\le k\le n=3$, ovvero, k può essere 1,2 oppure 3.

  1. Per k=1 le combinazioni semplici di A di classe 1 sono $C_{3,1}=\frac{3\cdot 1}{1!}=3$:
  2. $$a_1,\ a_2,\ a_3$$
  3. Per k=2 le combinazioni semplici di A di classe 2 sono $C_{3,2}=\frac{3\cdot 2}{2!}=3$:
  4. $$(a_1,a_2)\ (a_1,a_3)\ (a_2,a_3)$$
  5. Per k=3 le combinazioni semplici di A di classe 2 sono $C_{3,3}=\frac{3\cdot 2\cdot 1}{3!}=1$:
  6. $$(a_1,a_2,a_3)$$

Proprietà delle combinazioni

Osserviamo che da una qualsiasi combinazione di classe k di A si ottengono k! disposizioni contenenti i medesimi elementi della combinazione considerata, per cui $C_{n,k}\cdot k!=D_{n,k}$ ossia:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{C_{n,k}=\frac{D_{n,k}}{k!}\frac{n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}$$

Coefficiente binomiale e proprietà

Dati $n,k\in\mathbb N$ con $k\le n$, chiamasi coefficiente binomiale di n su k il simbolo ${n \choose k}$ e si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\left(=C_{n,k}\right)}$$

Inoltre, si hanno le seguenti proprietà

  • ${n\choose 0}=1$
  • ${n\choose 1}=n$
  • ${n\choose n}=1$
  • Simmetria dei coefficienti binomiali: $\quad{n\choose k}={n\choose n-k}$
  • Formula di Stifel: $\quad{n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}$

Combinazioni con ripetizione

Si dicono combinazioni con ripetizione degli n elementi di A presi a k a k (o di classe k), $C_{n,k}^r$, tutti i raggruppamenti non ordinati formati con k elementi, in cui ogni elemento può ripetersi fino a k volte.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{C_{n,k}^r=\frac{n\cdot (n+1)\cdot \dots \cdot (n+k-1)}{k!}}$$

Pertanto, due qualunque combinazioni con ripetizione di classe k differiscono o perchè contengono elementi diversi ("qualità") o per il numero di volte in cui un elemento è ripetuto.

Esempio combinazioni con ripetizione

Sia $A=\{a,b,c\}$, si ha $n=3$.

  1. Per k=1 le combinazioni con ripetizione di A di classe 1 sono $C_{3,1}^r=3$
  2. $$(a)\ (b)\ (c)$$
  3. Per k=2 le combinazioni con ripetizione di A di classe 2 sono $C_{3,2}^r=\frac{3\cdot 4}{2!}=6$
  4. $$(a,a)\ (a,b)\ (a,c)\ (b,b)\ (b,c)\ (c,c)$$
  5. Per k=3 le combinazioni con ripetizione di A di classe 3 sono $C_{3,3}^r=\frac{3\cdot 4\cdot 5}{3!}=10$
  6. $$(a,a,a)\ (a,a,b)\ (a,a,c)\ (a,b,c)\ (a,b,b)\ (a,c,c)\ (b,b,b)\ (b,b,c)\ (c,c,c)\ (c,c,b)$$

Esercizi svolti sul calcolo combinatorio qui.

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