Risolviamo i seguenti limiti utilizzando i limiti notevoli:
$$\large{\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\left(\frac{\log x}{2+\log x}\right)^{x^2}?}$$
Il limite si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$. Sciogliamola riscrivendo la funzione nel seguente modo:
$$\left(\frac{\log x}{2+\log x}\right)^{x^2}=\left(\frac{1}{1+\frac{2}{\log x}}\right)^{x^2}=\frac{1}{\left(1+\frac{2}{\log x}\right)^{x^2}}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{x^2}}=\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\right]^{{\frac{2}{\log x}}x^2}}$$
Osserviamo che
$$\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}e$$ $${\frac{2}{\log x}}x^2\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}+\infty$$
Dunque,
$$\frac{1}{\left[\left(1+\frac{1}{\frac{\log x}{2}}\right)^{\frac{\log x}{2}}\right]^{{\frac{2}{\log x}}x^2}}\overset{x\rightarrow +\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{e^{+\infty}}=\frac{1}{+\infty}=0$$
$$\large{\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}}$$
Il limite, se calcolato sostituendo $0$ alla $x$ si presenta nella forma indeterminata $1^\infty$.
Osserviamo dapprima, che i limiti notevoli che utilizzeremo saranno i seguenti:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha$$
Riscriviamo la funzione del limite in questo modo:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}}$$
La base della potenza $(1+x^3)^\frac{1}{x^3}$ tende banalmente a $e$. Riscriviamo l'esponente per sciogliere definitivamente la forma indeterminata:
$$x^3{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=x\frac{x^2}{(x^2+1)^4-1}\overset{x\rightarrow 0^-}{\longrightarrow}0$$
Infatti $$x\frac{x^2}{(x^2+1)^4-1}\overset{x\rightarrow 0^-}{\longrightarrow}0\cdot\frac{1}{4}=0$$
In definitiva si ha:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0^-}(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=e^0=1$$
$$\large{\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}}$$
Il limite, se calcolato sostituendo $0$ alla $x$ si presenta nella forma indeterminata $1^\frac{0}{0}$. Poichè la forma indeterminata si trova ad esponenente, riscriviamolo a parte tale esponente apportandovi alcune trasformazioni.
Osserviamo dapprima, che i limiti notevoli che utilizzeremo saranno i seguenti:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e\quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 \quad\quad \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$$
Riscriviamo la funzione del limite in questo modo:
$$(1+x^3)^\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}=[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}=[(1+x^3)^\frac{1}{x^3}]^{x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{\frac{x^4}{3}}{\sin^6 x}}$$
Per semplicità, lavoriamo dapprima con l'esponente:
$$x^3\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{\frac{x^4}{3}}{\sin^6 x}=x\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\frac{x^6}{\sin^6 x}\frac{1}{3}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0\quad\mbox {(leggi: tende a $0$ per $x$ tendente a $0$)}$$
Infatti: $\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\frac{x^4}{3}}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}1$, $\frac{x^6}{\sin^6 x}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}1$ e $x\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}0$, quindi tutto l'esponente tende a $0$.
Occupiamoci ora della base della potenza:
Si ha che $(1+x^3)^\frac{1}{x^3}\overset{x\rightarrow 0}{\longrightarrow}e$
Concludiamo dicendo che risulta:
$$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x^3)^{\frac{\log\left(1+\frac{x^4}{3}\right)}{\sin^6 x}}=e^0=1$$
