In questo articolo elenchiamo una lista di esercizi svolti sul calcolo di prodotti e divisioni tra radicali con lo stesso indice e radicali con indice diverso. Per approfondire l'argomento vai in questa pagina.
Prodotti e divisioni tra radicali con lo stesso indice
Esercizio 1
$$\sqrt[6]{\frac{27}{x^4}}\cdot\sqrt[6]{\frac{xy^5}{8}}\cdot\sqrt[6]{\frac{1}{y^2}}$$
$\sqrt[6]{\frac{27}{x^4}}\cdot\sqrt[6]{\frac{xy^5}{8}}\cdot\sqrt[6]{\frac{1}{y^2}}=\sqrt[6]{\frac{27}{x^4}\frac{xy^5}{8}\frac{1}{y^2}}=\sqrt[6]{\frac{27y^3}{8x^3}}=\sqrt[6]{\frac{3^3y^3}{2^3x^3}}=\sqrt{\frac{3y}{2x}}$;
Nell'ultimo passaggio siamo passati dalla radice sesta alla radice quadrata dividendo sia l'indice che l'esponente del radicando (l'esponente 3 è comune a tutti i termini presenti nel radicando), per 3.
Esercizio 2
$$\sqrt{9}:\sqrt{3}$$
$\sqrt{9}:\sqrt{3}=\sqrt{9:3}=\sqrt{3}$
Esercizio 3
$$\sqrt{x^3}:\sqrt{\frac{x^2}{y}}$$
$\sqrt{x^3}:\sqrt{\frac{x^2}{y}}=\sqrt{x^3:\frac{x^2}{y}}=\sqrt{x^3:\frac{y}{x^2}}=\sqrt{xy}$
Prodotti e divisioni tra radicali con indice diverso
Esercizio 4
$$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{\frac{x^5}{y^4}}}$$
$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt[4]{\frac{x^5}{y^4}}}=\frac{\sqrt[4]{x^2}}{\sqrt[4]{\frac{x^5}{y^4}}}=\sqrt[4]{\frac{x^2}{\frac{x^5}{y^4}}}=\sqrt[4]{x^2\cdot\frac{y^4}{x^5}}=\sqrt[4]{\frac{y^4}{x^3}}$
Esercizio 5
$$\sqrt[3]{\frac{9b}{10a}}\cdot\sqrt[6]{\frac{4a^2}{81b}}\cdot\sqrt[2]{\frac{3a}{2b^2}}$$
$\sqrt[3]{\frac{9b}{10a}}\cdot\sqrt[6]{\frac{4a^2}{81b}}\cdot\sqrt[2]{\frac{3a}{2b^2}}=\sqrt[6]{\left(\frac{9b}{10a}\right)^2}\cdot\sqrt[6]{\frac{4a^2}{81b}}\cdot\sqrt[6]{\left(\frac{3a}{2b^2}\right)^3}=\sqrt[6]{\frac{81b^2}{100a^2}\cdot\frac{4a^2}{81b}\cdot\frac{27a^3}{8b^6}}=\sqrt[6]{\frac{27a^3}{200b^5}}$
Esercizio 6
$$\sqrt[3]{a}:\sqrt[12]{\frac{a^3}{b^2}}$$
$\sqrt[3]{a}:\sqrt[12]{\frac{a^3}{b^2}}=\sqrt[12]{a^4}:\sqrt[12]{\frac{a^3}{b^2}}=\sqrt[12]{a^4:\frac{a^3}{b^2}}=\sqrt[12]{a^4\cdot\frac{b^2}{a^3}}=\sqrt[12]{ab^2}$
Esercizio 7
$$\sqrt{x-\frac{9}{x}}:\sqrt[3]{\frac{x+3}{2x}}$$
$\begin{array}{l} &\sqrt{x-\frac{9}{x}}:\sqrt[3]{\frac{x+3}{2x}}=\\ =&\sqrt[6]{\left(x-\frac{9}{x}\right)^3}:\sqrt[6]{\left(\frac{x+3}{2x}\right)^2}=\\=&\sqrt[6]{\left(\frac{x^2-9}{x}\right)^3:\left(\frac{x+3}{2x}\right)^2}=\\=&\sqrt[6]{\frac{(x^2-9)^3}{x^3}\cdot\frac{(2x)^2}{(x+3)^2}}=\\ =&\sqrt[6]{\frac{[(x-3)(x+3)]^3}{x^3}\cdot\frac{4x^2}{(x+3)^2}}=\\ =&\sqrt[6]{\frac{(x-3)^3(x+3)^3}{x}\cdot\frac{4}{(x+3)^2}}=\\ =&\sqrt[6]{\frac{4(x-3)^3(x+3)}{x}}\end{array}$
