Webtudordimatematica

Teorema della probabilità totale

Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare...

Il Teorema della probabilità totale, in parole semplici, serve per calcolare la probabilità di un evento A che è influenzato dal verificarsi di altri due o più eventi $B_i$ che ricoprono la totalità appunto dei possibili eventi che condizionano $A$. In termini matematici, il Teorema della probabilità totale dice che:

Sia $A$ un evento e $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ una famiglia di eventi dello spazio campione S che godono delle seguenti proprietà:

  • sono a due a due incompatibili o mutuamente esclusivi $(B_i\cap B_j=\emptyset\quad\forall i\neq j)$ 
  • sono esaustivi, cioè ricoprono lo spazio campione S $(B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_n=S)$
  • hanno probabilità non nulla $(P(B_i)\neq 0\quad\forall i)$

Allora la formula della probabilità totale è:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+\dots +P(A|B_n)\cdot P(B_n)=\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)}$$

 Qui di seguito ho registrato un video in cui ti porto un esempio di applicazione del teorema della probabilità totale.

 

 

Dimostrazione del teorema della probabilità totale

Per dimostrare questo risultato è sufficiente osservare che se A si verifica, esso deve verificarsi insieme a uno e uno solo degli eventi $B_1,B_2,\dots ,B_n$, perciò:

$$P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\dots +P(A\cap B_n)$$

Applicando la regola di moltiplicazione si ha:

$$P(A\cap B_i)=P(B_i)\cdot P(A|B_i)$$

Sostituendo quest'ultima relazione nella precedente, si ottiene la tesi.

Applicazione del teorema della probabilità totale

Siano date due urne $U_1$ e $U_2$. La prima urna contiene 2 palline rosse e 1 nera, mentre la seconda urna contiene 3 palline rosse e 2 nere. Scegliamo a caso un'urna ed estraiamo a caso una pallina dall'urna scelta. Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera?

Consideriamo gli eventi

  • $B_1=\mbox{è stata scelta }U_1$
  • $B_2=\mbox{è stata scelta }U_2$
  • $A=\mbox{è stata estratta una pallina nera}$

Sono ampiamente verificate tutte le ipotesi del teorema della probabilità totale:

$$B_1\cap B_2=\emptyset\quad\quad B_1\cup B_2=S$$

Possiamo applicare il teorema:

$$P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{30}=0,3667$$

Infatti

$$P(B_1)=P(B_2)=\frac{1}{2}\quad\mbox{e}\quad P(A|B_1)=\frac{1}{3},\quad P(A|B_2)=\frac{2}{5}$$

 

VAI AGLI ESERCIZI

 

10.000 esercizi
formazione completa

Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare

Leggi tutto

Statistica
Video corsi

Video corso R per ricercatori e professionisti

Leggi tutto
Il quaderno degli appunti
Statistica e Probabilità

Indice di connessione di Mortara

L'indice di Mortara è un indice utilizzato per misurare il grado di connessione o associazione tra due variabili X e Y qualitative nominali o categor
Statistica e Probabilità

Indice di connessione Chi-quadrato

Il Chi-quadrato è l'indice di connessione più utilizzato in statistica per valutare l'associazione tra due variabili categoriali o qualitative. Ad
Statistica e Probabilità

Indice V di Cramer

L'indice di Cramer è un indice di connessione normalizzato usato per stabilire il grado di associazione tra due variabili qualitative nominali X eY.