Teorema della probabilità totale

Il Teorema della probabilità totale dice che:

Sia $A$ un evento e $\{B_1,B_2,\dots ,B_n\}$ una famiglia di eventi dello spazio campione S che godono delle seguenti proprietà:

  • $B_i\cap B_j=\emptyset\quad\forall i\neq j\quad\mbox{(mutuamente esclusivi)}$
  • $B_1\cup B_2\cup\dots\cup B_n=S\quad\mbox{(esaustivi)}$
  • $P(B_i)\neq 0\quad\forall i$

Allora si dimostra che

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)+\dots +P(A|B_n)\cdot P(B_n)=\sum\limits_{i=1}^n P(A|B_i)\cdot P(B_i)}$$

Dimostrazione del teorema della probabilità totale

Per dimostrare questo risultato è sufficiente osservare che se A si verifica, esso deve verificarsi insieme ad uno e uno solo degli eventi $B_1,B_2,\dots ,B_n$, perciò:

$$P(A)=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\dots +P(A\cap B_n)$$

Applicando la regola di moltiplicazione si ha:

$$P(A\cap B_i)=P(B_i)\cdot P(A|B_i)$$

Sostituendo quest'ultima relazione nella precedente, si ottiene la tesi.

Applicazione del teorema della probabilità totale

Siano date due urne $U_1$ e $U_2$. La prima urna contiene 2 palline rosse e 1 nera, mentre la seconda urna contiene 3 palline rosse e 2 nere. Scegliamo a caso un'urna ed estraiamo a caso una pallina dall'urna scelta. Qual è la probabilità di estrarre una pallina nera?

Consideriamo gli eventi

  • $B_1=\mbox{è stata scelta }U_1$
  • $B_2=\mbox{è stata scelta }U_2$
  • $A=\mbox{è stata estratta una pallina nera}$

Sono ampiamente verificate tutte le ipotesi del teorema della probabilità totale:

$$B_1\cap B_2=\emptyset\quad\quad B_1\cup B_2=S$$

Possiamo applicare il teorema:

$$P(A)=P(A|B_1)\cdot P(B_1)+P(A|B_2)\cdot P(B_2)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{2}=\frac{11}{30}=0,3667$$

Infatti

$$P(B_1)=P(B_2)=\frac{1}{2}\quad\mbox{e}\quad P(A|B_1)=\frac{1}{3},\quad P(A|B_2)=\frac{2}{5}$$

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