Si chiama equazione esponenziale ogni equazione nella quale l'incognita compare nell'esponente di qualche potenza. Per risolvere le equazioni esponenziali devi essere ben ferrato con le proprietà delle potenze che ti linko qui.
Sono 3 le casistiche che si possono presentare:
- Equazione esponenziale che si può ricondurre alla forma in cui in entrambi i membri compaiono due potenze con la stessa base, ossia del tipo $$a^{\LARGE\star} = a^{\large\triangle}$$
- Equazione esponenziale che si risolve mediante una sostituzione
- Equazione esponenziale che contiene due o più potenze con base diversa.
Equazione esponenziale caso 1
Se in un'equazione esponenziale sono presenti solo prodotti e divisioni tra potenze che hanno la stessa base (o che si possono riscrivere in modo che abbiano la stessa base), allora si possono applicare le proprietà delle potenze per arrivare a ottenere un'equazione del tipo $$a^{\LARGE\star} = a^{\large\triangle}$$ quindi un'equazione in cui sia al primo che al secondo membro compaiono due esponenziali aventi la stessa base.
Tale equazione è equivalente a eguagliare gli esponenti, infatti due potenze che hanno la stessa base sono uguali se anche i loro esponenti coincidono. Quindi, l'equazione diventa semplicemente: $$\LARGE\star = \large\triangle$$ dove $\LARGE\star$ e $\large\triangle$ sono quantità che contengono l'incognita $x$. A questo punto l'equazione così trasformata non è più di tipo esponenziale e quindi posso procedere con la risoluzione.
$$\begin{eqnarray*}\cfrac{3^{x-1}\cdot 3^x}{3^{-2x+1}}&=&3^{-4x}\\ 3^{(x-1)+x-(-2x+1)}&=&3^{-4x}\\3^{4x-2}&=&3^{-4x}\\4x-2&=&-4x\\8x &=& 2\\x &=&\cfrac{1}{4}\end{eqnarray*}$$
Equazione esponenziale caso 2
Questo è il caso in cui compaiono somme e sottrazioni tra potenze e quindi non è possibile risolvere l'equazione esponenziale applicando le proprietà delle potenze. Qui sotto ti mostro un esempio.
Esempio
Risolvere l'equazione $$\frac{3^{2x+1}\cdot 81}{3^{1-x}}=\sqrt{3}$$
Applicando le proprietà delle potenze si perviene all'uguaglianza tra due potenze aventi la stessa base:
$$\begin{eqnarray*}3^{2x+1}\cdot 3^4:3^{1-x}&=&3^{\frac{1}{2}} \\ 3^{2x+1+4-1+x}&=&3^{\frac{1}{2}} \\ 3^{3x+4}&=&3^{\frac{1}{2}}\end{eqnarray*}$$
Eguagliando gli esponenti si ottiene: $$3x+4=\frac{1}{2}$$
e quindi
$$x=-\frac{7}{6}$$
Se preferisci guarda il video in cui risolvo queste prime due tipologie di equazioni esponenziali.
Equazione esponenziale caso 3
Per ultimo vediamo la tipologia di equazione esponenziale che si presenta con potenze che hanno base diversa. In questo caso occorre utilizzare i logaritmi e le loro proprietà per esplicitare l'incognita $x$.
Esempio
Risolvere l'equazione $$3^{x+1}-2\cdot 3^x+3^{x+2}=2^{x-1}$$
L'equazione può essere scritta nella forma equivalente:
$$\begin{eqnarray*}3\cdot 3^x-2\cdot 3^x+9\cdot 3^x &=&\frac{2^x}{2}\\ 3^x(3-2+9)&=&\frac{2^x}{2}\\ 10\cdot 3^x&=&\frac{2^x}{2}\end{eqnarray*}$$
Uguagliando i logaritmi decimali dei due membri dell'uguaglianza e applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene poi:
$$\begin{eqnarray*}\log(10\cdot 3^x)&=&\log\frac{2^x}{2}\\ \log 10+x\log 3&=&x\log 2-\log 2\end{eqnarray*}$$
Raggruppiamo (ciò che è possibile) per $x$:
$$\begin{eqnarray*}x(\log 3-\log 2)&=&-1-\log 2\\ x&=&\frac{1+\log2}{log 2-\log 3}\end{eqnarray*}$$
