L'esponenziale è una potenza che come base ha un numero $a$ positivo diverso da 1 e come esponente un'espressione che contiene l'incognita $x$ (la chiamo $f(x)$). In simboli l'esponenziale lo possiamo scrivere così: $$a^{f(x)}$$
Esempi di esponenziali sono: $$2^x,\quad \left(\cfrac{2}{3}\right)^{x-1},\quad\left(\sqrt{2}\right)^{x^2-4x}$$
Proprietà degli esponenziali
Gli esponenziali godono delle stesse proprietà delle potenze che elenco qui di seguito con degli esempi:
Esponenziali con esponente nullo
Un qualsiasi esponenziale che ha esponente zero è sempre uguale a 1: $$a^0=1$$
$$\begin{array}{l}2^0=1\\ \left(\cfrac{3}{4}\right)^0=1\\ \sqrt{3}^0=1\end{array}$$
Prodotto di esponenziali con la stessa base
Il prodotto di due esponenziali che hanno la stessa base $a$ è uguale a un esponenziale che ha per base $a$ e per esponente la somma degli esponenti: $$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$$
$$\begin{array}{l}2^{x+1}\cdot 2^{2x-3}=\\ =2^{(x+1)+(2x-3)}=\\=2^{3x-2}\end{array}$$
Divisione di esponenziali con la stessa base
Il rapporto di due esponenziali che hanno la stessa base $a$ è uguale a un esponenziale che ha per base $a$ e per esponente la differenza degli esponenti: $$a^x : a^y=\cfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$$
$$\begin{array}{l}3^{x^2+1} : 3^{3x-3}=\\ =\cfrac{3^{x^2+1} }{3^{3x-3}}=\\=3^{(x^2+1)-(3x-3)}=\\=3^{x^2-3x+4}\end{array}$$
Prodotto di esponenziali con lo stesso esponente
Il prodotto di due esponenziali che hanno lo stesso esponente $x$ è uguale a un esponenziale che ha per base il prodotto delle basi e per esponente $x$: $$a^x\cdot b^x=(a\cdot b)^x$$
$$\begin{array}{l}\left(\cfrac{1}{3}\right)^{x+1}\cdot\left(\cfrac{2}{5}\right)^{x+1}=\\ =\left(\cfrac{1}{3}\cdot\cfrac{2}{5}\right)^{x+1}=\\=\left(\cfrac{2}{15}\right)^{x+1}\end{array}$$
Divisione di esponenziali con lo stesso esponente
Il rapporto di due esponenziali che hanno lo stesso esponente $x$ è uguale a un esponenziale che ha per base il rapporto tra le basi e per esponente $x$: $$a^x : b^x=\cfrac{a^x}{b^x}=(a\cdot)^x$$
$$\begin{array}{l}3^{x^2} : 4^{x^2}=\\ =\cfrac{3^{x^2} }{4^{x^2}}=\\=\left(\cfrac{3}{4}\right)^{x^2}\end{array}$$
Esponenziale con doppio esponente
Un esponenziale con base $a$ che ha due esponenti $x$ e $y$ (detto anche potenza di potenza) è uguale a un esponenziale che ha per base $a$ e per esponente il prodotto degli esponenti: $$(a^x)^y=a^{x\cdot y}$$
$$\begin{array}{l}(5^{x+1})^{x^2}=\\ =5^{(x+1)\cdot(x^2)}=\\=5^{x^3+x^2}\end{array}$$
Esponenziale con esponente negativo
Un esponenziale con base $a$ ed esponente avente il segno meno ($-x$) è uguale a un esponenziale che ha per base il reciproco di $a$ e per esponente $+x$: $$a^{-x}=\left(\cfrac{1}{a}\right)^x$$
$$\begin{array}{l}6^{-x-1}=\left(\cfrac{1}{6}\right)^{x+1}\end{array}$$
$$\begin{array}{l}\left(\cfrac{2}{3}\right)^{-x+1}=\left(\cfrac{3}{2}\right)^{x-1}\end{array}$$
Esponenziali con esponente frazionario
Un esponenziale con base $a$ ed esponente una frazione $m/n$ è uguale alla radice con indice il denominatore della frazione ($n$) e radicando la base elevata al numeratore della frazione ($a^m$): $$a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}$$
$$3^{2/3}=\sqrt[3]{3^2}$$
Segno di un esponenziale
Dalla definizione di esponenziale e dalle proprietà appena viste ne segue che l'esponenziale assume sempre segno positivo a prescindere dal valore dell'esponente. Ad esempio, l'esponenziale $3^x$ è sempre maggiore di 0 per qualsiasi valore (positivo o negativo) che metti al posto della $x$, infatti: $$3^3=27>0$$ ma anche $$3^{-3}=\left(\cfrac{1}{3}\right)^3=\cfrac{1}{27}>0$$
Ho registrato un video in cui risolvo esercizi sugli esponenziali. Clicca qui sotto per vederlo.
Invece cliccando sui bottoni qui sotto puoi accedere agli esercizi svolti su equazioni e disequazioni esponenziali.
Vai alle equazioni esponenziali risolte
