Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l'incognita $x$ compare a esponente. Le strategie che si usano per risolvere le disequazioni esponenziali sono le medesime usate per le equazioni esponenziali. Tuttavia, in questa lezione, ritengo necessario elencare delle casistiche che si possono presentare e fornire per ciascuna la soluzione.
Prima di tutto però, se necessario, vai a ripassare le proprietà degli esponenziali e dei logaritmi perché ne farò uso in questo articolo.
Disequazioni esponenziali immediate
Consideriamo un numero $b$ negativo.
La disequazione esponenziale del tipo $a^{\Large\triangle}>b$ è verificata per ogni valore di $\large\triangle$. In altre parole, se al primo membro è presente un esponenziale (che è sempre positivo) e al secondo membro un numero negativo, allora la disequazione con il verso maggiore è sempre verificata dato che una qualsiasi esponenziale è sempre maggiore di un numero negativo.
$2^{3x} >-5$
Tale disequazione è verificata $\forall x\in\mathbb{R}$. Infatti, per qualsiasi numero che sostituiamo al posto della $x$ a esponente, l'esponenziale è sempre positivo, quindi sicuramente maggiore di qualsiasi numero negativo.
È chiaro che se cambio il verso alla disequazione precedente e quindi considero $a^{\Large\triangle}<b$ con $b$ numero negativo, la disequazione esponenziale è impossibile. Infatti, un esponenziale non è mai minore di un numero negativo.
$2^{3x} <-5$
Tale disequazione è impossibile o ciò che è lo stesso $\not\exists x\in\mathbb{R}$.
Disequazioni esponenziali non banali
Consideriamo adesso un numero $b> 0$ e la disequazione esponenziale del tipo $a^{\Large\triangle}>a^{\Large\star}$. Distinguiamo due casi:
- se $a>1$ possiamo cancellare le basi e riscrivere la disequazione tra gli esponenti: $\triangle>\Large\star$. Questa casistica coincide con quella descritta per le equazioni esponenziali caso 1.
- se $0 < a < 1$ possiamo cancellare le basi ma dobbiamo riscrivere la disequazione tra gli esponenti invertendo il verso, quindi: $\triangle <\Large\star$.
Quando bisogna invertire il verso in una disequazione esponenziale: dal punto 2 abbiamo appreso che se la base dell'esponenziale è compresa tra 0 e 1, quando si eliminano le basi e riscrivo gli esponenti SI DEVE CAMBIARE IL VERSO come ti ho spiegato nel seguente video:
Adesso, vediamo un'altra tipologia di disequazione esponenziale. Consideriamo un numero $b> 0$ e la disequazione esponenziale del tipo $a^{\Large\triangle}>b$. Inoltre, aggiungiamo l'ipotesi che $a$ e $b$ sono due numeri che non si posso esprimere come potenze aventi la stessa base. Anche in questo è necessario distinguere due situazioni a seconda del valore della base dell'esponenziale:
- se $a>$1 è equivalente alla disequazione $\triangle>\log_a b$;
- se $0 < a < 1$ è equivalente alla disequazione $\triangle < \log_a b$.
Facciamo un esempio concreto.
$9^x <30$
Dato che primo e secondo membro non possono essere espressi come esponenziali che abbiano la stessa base, dobbiamo ricorrere ai logaritmi. Applichiamo infatti i logaritmi in base 9 in entrambi i membri: $$\log_9(9^x) < \log_9(30)$$ Applicando la definizione di logaritmo il primo membro equivale a $x$ mentre il secondo membro si riscrive esattamente com'è: $$x < \log_9(30)$$
Riguardo al log al secondo membro, diciamo che è anch'esso un numero reale, una soluzione, solo che non può essere scritto come un numero intero o frazionario in quanto non esiste nessun numero intero o frazionario $x$ tale che $9^x=30)$.