NOTA! Questo sito utilizza i cookie e tecnologie simili.

Se non si modificano le impostazioni del browser, l'utente accetta. Per saperne di piu'

Approvo

Esercizi sugli errori di primo e secondo tipo

  1. Calcolo del livello di significatività di un test unilaterale destro
  2. Calcolo probabilità errore di primo tipo in un test unilaterale sinistro
  3. Calcolo errore di secondo tipo in un test unilaterale sinistro

Esercizio 1

Sia \(X\sim N(\theta,1)\) e si supponga di disporre di un campione bernoulliano di dimensione $n=10$ per saggiare il sistema di ipotesi: $$\begin{cases} H_0:\theta\leq 5.5\\ H_1:\theta>5.5\end{cases}$$ Si decide di rifiutare $H_0$ se il valore osservato della statistica test $T_n=\sqrt{n}(\overline{X}_n-5.5)$ è maggiore di $1.53$. Quanto vale il livello di significatività?

Il livello di significatività $\alpha$ o errore di prima specie rappresenta la probabilità di rifiutare $H_0$ quando essa è vera ossia, $$\begin{eqnarray*} \alpha &=& P(\mbox{rifiutare }H_0|H_0\mbox{ vera})=P(\sqrt{10}(\overline{X}_n-5.5)>1.53|H_0)=\\ &=& P(\overline{X}_n>5.98|H_0)\stackrel{standard.}{=}P\left(Z>\frac{5.98-5.5}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\right)=\\ &=&P(Z>1.52)=1-P(Z\leq 1.52)=1-0.9357=0.0643\end{eqnarray*}$$ Specifichiamo che la deviazione standard (radice quadrata della varianza) di $\overline{X}_n$ presente nella formula di standardizzazione è $\frac{1}{\sqrt{10}}$, infatti, dalle proprietà della varianza si ottiene: $$\begin{eqnarray*}Var(\overline{X}_n) &=& Var\left(\frac{X_1+\dots +X_n}{n}\right)=\\ &=& \frac{1}{n^2}Var(X_1+\dots +X_n)=\\ &=&\frac{1}{n^2}\cdot nVar(X_1)=\frac{1}{n}\end{eqnarray*}$$ Per $n=10$ si ha $Var(\overline{X}_n)=\frac{1}{10}$ e quindi la sua deviazione standard è $\frac{1}{\sqrt{10}}$.

Esercizio 2

Sia $X\sim N(\theta, 1)$ e si supponga di disporre di un campione bernoulliano di dimensione $n=10$ per saggiare il sistema di ipotesi: $$\begin{cases} H_0:\theta = 6.17\\ H_1:\theta = 5.74\end{cases}$$ Si decide di rifiutare $H_0$ se il valore osservato della statistica test $T_n=\sqrt{n}(\overline{X}_n-6.17) è minore di $-1.71$. Qual è la probabilità di commettere un errore di primo tipo?

La probabilità di commettere un errore di primo tipo $\alpha$ (chiamato anche livello di significatività) non è altro che la probabilità di rifiutare $H_0$ quando essa è vera. Calcoliamola seguendo la definizione: $$\begin{eqnarray*} \alpha &=& P(\mbox{rifiutare }H_0|H_0\mbox{ vera})=P(\sqrt{10}(\overline{T}_n-6.17) < -1.71|H_0)=\\ &=& P(\overline{T}_n < 5.63|H_0)\stackrel{standard.}{=}P\left(Z < \frac{5.63-6.17}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\right)=\\ &=&P(Z < -1.708)=1-P(Z\leq 1.708)=1-0.9554=0.0446\end{eqnarray*}$$ Osserviamo che $X\sim N(\theta, 1)$, la sua media campionaria $\overline{X}_n$ si distribuisce secondo una normale di media $\theta=6.17$ e varianza $\frac{1}{n}=\frac{1}{10}$.

Esercizio 3

Sia $X\sim N(\theta, 1)$ e si supponga di disporre di un campione bernoulliano di dimensione $n=10$ per saggiare il sistema di ipotesi: $$\begin{cases} H_0:\theta = 8.66\\ H_1:\theta = 8.27\end{cases}$$ Si decide di rifiutare $H_0$ se il valore osservato della statistica test $T_n=\sqrt{n}(\overline{X}_n-8.66)$ è minore di $-1.74$. Qual è la probabilità di commettere un errore di secondo tipo?

La probabilità di commettere un errore di secondo tipo $\beta$ non è altro che la probabilità di accettare $H_0$ quando essa è falsa. In base ai dati del testo otteniamo che: $$\begin{eqnarray*} \beta &=& P(\mbox{accettare }H_0|H_0\mbox{ falsa})=P(\sqrt{10}(\overline{T}_n-8.66) \geq -1.74|H_1)=\\ &=& P(\overline{T}_n \geq 8.11|H_1)\stackrel{standard.}{=}P\left(Z \geq \frac{8.11-8.27}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\right)=\\ &=&P(Z \geq -0.51)=P(Z\leq 0.51)=0.6950\end{eqnarray*}$$ Ai fini dell'applicazione della formula di standardizzazione, dato che $X\sim N(\theta, 1)$, la sua media campionaria $\overline{X}_n$ si distribuisce secondo una normale di media $\theta=8.27$ e varianza $\frac{1}{n}=\frac{1}{10}$.

Letto 3178 volte

Effettua il LOGIN al sito per aggiungere commenti oppure REGISTRATI se non hai ancora un account.