Esistono diversi modi mediante i quali è possibile calcolare la probabilità di un evento: in questo articolo definiremo la probabilità a priori o probabilità matematica e la probabilità a posteriori o probabilità frequentistica.
Probabilità matematica
La probabilità matematica P dovuta a Bernoulli e Laplace è:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P=\frac{\mbox{numero casi favorevoli}}{\mbox{numero casi equipossibili}}}$$
Questa definizione assume che tutti i risultati possibili di un esperimento siano abbiano la stessa probabilità di verificarsi (casi equipossibili) e che lo spazio dei campioni si finito. Inoltre, ogni probabilità P è un numero compreso tra 0 e 1; la probabilità di un evento impossibile (che non può mai verificarsi) è P=0 e la probabilità di un evento certo (che è sempre verificato) è P=1.
Facciamo qualche esempio:
Probabilità nel lancio di un dado
Si effettua un lancio di un dado. Calcolare a) la probabilità di ottenere 2 e b) la probabilità di ottenere un numero dispari.
I casi possibili sono 6 e sono gli elementi dell'insieme {1,2,3,4,5,6}. Nel caso a), i casi favorevoli si riducono a 1, ovvero il numero 2, per cui la probabilità matematica è data da:
$P=\frac{1}{6}$
Nel caso b), invece, i casi favorevoli sono 3 e sono quelli dell'insieme {1,3,5}. Dunque:
$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
Probabilità con calcolo combinatorio
Intorno ad un tavolo rotondo si dispongono a caso 5 uomini e 5 donne: calcolare la probabilità che ogni donna si trovi seduta tra due uomini
I casi equipossibili sono dati dal numero di modi con cui le 10 persone possono disporsi intorno al tavolo: essi sono esattamente le permutazioni semplici di 10 elementi, ovvero:
$P_{10}=10!$
I casi favorevoli, invece, sono dati dal prodotto tra il numero di modi con cui le 5 donne possono disporsi (5!) e il numero di modi con cui 5 uomini possono disporsi (5!), ossia $5!\cdot 5!$.
Dunque, la probabilità richiesta sarà data da:
$P=\frac{10!}{5!\cdot 5!}=0,00397$
Probabilità frequentistica
Esistono casi in cui i risultati possibili di un esperimento non sono tutti equiprobabili. In tal caso si può dare una definizione frequentistica della probabilità. Si definisce in questo modo la probabilità a posteriori, detta anche probabilità frequentistica.
Se dopo aver ripetuto n volte un esperimento, con n sufficientemente grande, un evento si è verificato h volte, si dice che la probabilità di questo evento è $P=\frac{h}{n}$.
Affichè questa definizione sia valida, occorre che tutte le prove avvengano nelle stesse condizioni, cosa che in realtà non è sempre ottenibile quando si analizzano fenomeni statistici.
Esempio di calcolo della probabilità frequentistica
Si è verificato che su 100 lanci successivi di una moneta, T (testa) si è presentata 56 volte; qual è la probabilità che nel prossimo lancio si presenti C (croce)?
Se T si è presentata 56 volte su 100, allora C si è presentata 44 volte su 100 e la probabilità cercata è uguale alla frequenza relativa osservata:
$P=\frac{44}{100}=0,44$
Definizione assiomatica di probabilità
Sia S uno spazio campione finito. Definiamo una funzione $P:S\rightarrow\mathbb R$ detta funzione di probabilità, che ad ogni evento A di S associa un valore reale P(A) detto probabilità dell'evento A, che soddisfa i seguenti assiomi:
- $0\le P(A)\le 1$
- $P(S)=1$
- Se A e B sono eventi mutuamente esclusivi (cioè $A\cap B=\emptyset$), allora $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
Dal primo assioma seguente che la probabilità è un numero appartenente all'intervallo [0,1]; il secondo assioma dice che la probabilità dell'evento certo è pari a 1; mentre il terzo dice le funzioni di probabilità sono funzioni additive.
Elenchiamo alcune regole che seguono dai 3 assiomi appena esposti.
Generalizzazione del 3° assioma: se $A_1,A_2,\dots ,A_n$ sono eventi mutuamente esclusivi di uno spazio campione S, allora
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)}$$
Regola additiva: se A e B sono due eventi qualsiasi di S, allora
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$$
Con i diagrammi di Venn si può graficare la regola precedente.
Come si può vedere dal grafico, sommando semplicemente P(A) e P(B), la probabilità $P(A\cap B)$ viene contata 2 volte. Se gli eventi sono mutuamente esclusivi, la regola additiva si riduce al terzo assioma.
Probabilità dell'evento contrario: se A è un qualunque evento di S, allora
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(\overline{A})=1-P(A)}$$
Se X è una variabile aleatoria, si usano le seguenti notazioni:
| Evento in lettere | Evento in simboli | Probabilità dell'evento |
| X assume il valore a | $X=a$ | $P(X=a)$ |
| X assume valori compresi nell'intervallo (a,b) | $a < X < b$ | $P(a < X < b)$ |
| X assume valori minori o uguali a c | $X\le c$ | $P(X\le c)$ |
La probabilità dell'evento contrario a $X\le c$, ossia, la probabilità che X assuma un valore maggiore di c, si calcola come segue:
$$P(X>c)=1-P(X\le c)$$
Esempio
Si consideri la variabile aleatoria discreta X, definita come il numero di teste T in due lanci di una moneta; si ha ad esempio: $$\begin{array}{l} P(X=2)=\frac{1}{4}\quad\quad & P(X=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\\ P(1 < X < 2)=0\quad\quad & P(1 < X \le 2)=\frac{1}{4}\quad\quad & P(0 \le X \le 2)=1\end{array}$$
Applicazioni sulla probabilità assiomatica
Una pallina viene estratta da un'urna che ne contiene 6 rosse, 4 bianche e 5 nere. Calcolare la probabilità che la pallina estratta sia:
- a) rossa;
- b) bianca;
- c) nera;
- d) non rossa;
- e) rossa o bianca.
I casi equiprobabili sono 6+4+5=15.
Nel caso a) i casi favorevoli sono il numero delle palline rosse, ovvero 6, quindi la probabilità richiesta è
$P(\mbox{rossa})=\frac{6}{15}=0,4$.
Nel caso b) i casi favorevoli sono il numero delle palline bianche, ovvero 4, quindi la probabilità richiesta è
$P(\mbox{bianca})=\frac{4}{15}=0,2667$.
Nel caso c) i casi favorevoli sono il numero delle palline nere, ovvero 5, quindi la probabilità richiesta è
$P(\mbox{nera})=\frac{5}{15}=0,334$.
Nel caso d) i casi favorevoli sono il numero delle palline bianche e nere, ovvero 4+5=9, quindi la probabilità richiesta è
$P(\mbox{non rossa})\frac{9}{15}=0,6$.
Quest'ultima probabilità si può calcolare anche considerando la probabilità contraria di P(rossa):
$P(\mbox{non rossa})=1-P(\mbox{rossa})=1-0,4=0,6$.
Nel caso e) gli eventi "rossa" e "bianca" sono mutuamente esclusivi e per l'assioma 3 si ha:
$P(\mbox{rossa}\cup\mbox{bianca})=P(\mbox{rossa})+P(\mbox{bianca})=0,4+0,2667=0,6667$.
