"Permutare" vuol dire scambiare di posto. Ecco da dove nasce la parola permutazioni!
Questo è il caso in cui il numero di oggetti da raggruppare coincide esattamente con il numero di posti a disposizione. Per tale ragione possiamo dire che, sotto l'ipotesi che gli elementi non possano essere ripetuti, tale situazione rappresenta un caso particolare delle disposizioni semplici in cui $n=k$. Di seguito scendiamo nei particolari definendo sia le permutazioni semplici che quelle con ripetizione.
Permutazioni semplici (disposizioni con n=k)
Si dicono permutazioni semplici degli n elementi di A, $P_n$, le disposizioni semplici di classe n.
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P_n=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dots 1=n!}$$
Si noti che due qualunque permutazioni semplici di A differiscono soltanto per l'ordine in cui si susseguono gli elementi ("ordine").
Esempio permutazioni semplici
Sia $A=\{a_1,a_2,a_3\}$. Poiché $n=3$, le permutazioni di A sono $P_3=3!=3\cdot 2\cdot 1=6$:
$$\begin{array}{l}(a_1,a_2,a_3),\ (a_1,a_3,a_2)\\ (a_2,a_1,a_3),\ (a_2,a_3,a_1)\\ (a_3,a_1,a_2),\ (a_3,a_2,a_1)\end{array}$$Vedi qui definizione di fattoriale.
Permutazioni con ripetizione
Supponiamo di prendere
- $r_1$ volte l'elemento $a_1\in A$
- $r_2$ volte l'elemento $a_2\in A$
- $\dots$
- $r_n$ volte l'elemento $a_n\in A$
Si vuole contare il numero di distribuzioni di tali $r_1+r_2+\dots +r_n$ elementi su $r_1+r_2+\dots +r_n$ posti.
Si dicono permutazioni con ripetizione degli elementi di A presi, rispettivamente, $r_1$ volte, $r_2$ volte, $\dots$, $r_n$ volte, $P_{r_1,r_2,\dots ,r_n}^r$, tutti i raggruppamenti ordinati formati con tali $r_1+r_2+\dots +r_n$ elementi di A.
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P_{r_1,r_2,\dots ,r_n}^r=\frac{(r_1+r_2+\dots +r_n)!}{r_1!r_2!\dots r_n!}}$$
Esempio permutazioni con ripetizione
Sia $A=\{a,b\}$, $r_1=2$, $r_2=3$. Si hanno $P_{2,3}^r=\frac{(2+3)!}{2!3!}=10$ permutazioni degli elementi $a_1$ ripetuto 2 volte e $a_2$ ripetuto 3 volte. Essi sono:
$$\begin{array}{l} (a,a,b,b,b),\ (a,b,a,b,b)\\ (a,b,b,a,b),\ (a,b,b,b,a)\\ (b,a,a,b,b),\ (b,a,b,a,b)\\ (b,a,b,b,a),\ (b,b,a,a,b)\\ (b,b,a,b,a),\ (b,b,b,a,a)\end{array}$$
