Distribuzione esponenziale

Funzione di densità, di ripartizione e di sopravvivenza

Si dice che un numero aleatorio $X$ continuo ha distribuzione esponenziale di paramentro $\lambda$ e si indica con $X\sim EXP(\lambda)$, se la sua funzione di densità è

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}&\mbox{se } x > 0\\ 0 &\mbox{se } x\le 0\end{cases}}$$

Essa si utilizza generalmente per numeri aleatori il cui significato è il tempo di durata fino al guasto di un certo dispositivo.

La funzione di ripartizione di un numero aleatorio con distribuzione esponenziale è:

e risolvendo l'integrale per $x > 0$ otteniamo:

F(x)=P(X\le x)=\begin{cases} \int_0^x\lambda e^{-\lambda t}\ dt&\mbox{se } x > 0\\ 0 &\mbox{se } x\le 0\end{cases}

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{F(x)=P(X\le x)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda x}&\mbox{se } x > 0\\ 0 &\mbox{se } x\le 0\end{cases}}$$

$F(x)=P(X\le x)$ rappresenta la probabilità che il dispositivo si guasti nell'intervallo $[0,x]$. La funzione contraria, chiamata funzione di sopravvivenza e indicata con $S(x)=P(X > x)$, è invece la probabilità che il dispositivo si guasti dopo l'istante di tempo $x$.

Dunque si ha che:

$$S(x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}$$

Valore atteso e varianza di una distribuzione esponenziale

Applicando le definizione di valore atteso e varianza di un numero aleatorio continuo si può facilmente verificare che, se $X\sim EXP(\lambda)$, risulta:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{E(x)=\frac{1}{\lambda}}$$

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{VAR(X)=\frac{1}{\lambda^2}}$$

Proprietà di assenza di memoria

Si può dimostrare che per i numeri aleatorio $X\ge 0$ con distribuzione esponenziale vale la proprietà di assenza di memoria:

$$P(X > x+x_0|X>x)=P(X > x_0)$$

Al primo membro dell'uguaglianza abbiamo la probabilità che il dispositivo si guasti dopo l'istante $x+x_0$, supposto che non si sia guastato fino all'istante $x$. Dunque, tale uguaglianza ci dice che man mano che il dispositivo viene utilizzato, la probabilità di guastarsi non cambia ed è sempre uguale alla probabilità di non guastarsi fino al tempo $x_0$.

In altre parole, per la proprietà di assenza di memoria, si ha che ogni numero aleatorio con distribuzione esponenziale rappresenta il tempo di durata fino al guasto di un dispositivo ideale che non è soggetto ad usura.

Funzione di rischio

È chiaro che, in generale, un dispositivo si usura, quindi si ha invecchiamento quando

$$P(X\le x+\delta x|X>x)>P(X\le\delta x)$$

In opposizione a questa, diremo che si ha ringiovanimento quando si verifica che

$$P(X\le x+\delta x|X>x)< P(X\le\delta x)$$

Da quest'ultima si ha che:

$$P(X\le x+\delta x|X>x) = \frac{P(x < X\le x+\delta x)}{P(X > x)}\simeq\frac{\delta x f(x)}{S(x)}$$

Infatti, $S(x)=P(X > x)$ che è la funzione di sopravvivenza; mentre al numeratore, considerando un piccolo incremento di $x$, $P(x < X\le x+\delta x)$ non è altro che l'area sottesa dalla $f(x)$ nell'intervallo in figura:

incremento della funzione di densità di un numero aleatorio con distribuzione esponenziale

Se l'incremento è molto piccolo, tale area si può ben approssimare con quella del rettangolo di base $\delta x$ e altezza $f(x)$.

Chiamiamo funzione di rischio il rapporto tra la funzione di densità $f(x)$ e la funzione di sopravvivenza $S(x)$:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{h(x)=\frac{f(x)}{S(x)}}$$

Ovviamente

  • se $h(x)$ è crescente $\Rightarrow$ invecchiamento
  • se $h(x)$ è decrescente $\Rightarrow$ ringiovanimento.

La funzione di rischio per un numero aleatorio con distribuzione esponenziale, è chiaramente costante:

$$h(x)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}}{e^{-\lambda x}}=\lambda$$

Affinchè $h(x)$ sia una funzione di rischio devono essere verificate le seguenti proprietà:

  1. $h(x)\ge 0\ \forall x\ge 0$
  2. $S(+\infty)=\int_0^{+\infty}h(t)\ dt = +\infty$

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