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Densità di probabilità PDF

Si definisce, funzione di densità di probabilità (PDF) di una variabile aleatoria X la derivata della sua CDF $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f_X(x)=\frac{d}{dx}F_X(x)}$$

Proprietà della funzione di densità

  • $0\leq f_X(x)\leq 1\quad\forall x$.
  • $F_X(x)=\int_{-\infty}^x f_X(t)\ dt$, ovvero la CDF è una primitiva della PDF.
  • Proprietà di normalizzazione
    $\begin{array}{l} \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(t)\ dt=1\ (\mbox{Se $X$ è continua})\\ \sum\limits_{i=1}^nx_i=1\ (\mbox{Se $X$ è discreta e assume valori $x_1,\dots ,x_n$})\end{array}$
  • $\int_{x_1}^{x_2} f_X(t)\ dt=P(x_1 < X\leq x_2)$

Dall'ultima proprietà ne consegue che la moda di $X$ è il valore massimo raggiunto dalla sua funzione di densità:

$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{Moda(X)=max\left\{f(x)\right\}}$$

Nel caso particolare in cui $X$ è una V.A. discreta che assume valori $x_1,\dots ,x_n$, conoscendo la PDF possiamo calcolare la probabilità che $X$ assuma un generico valore $x_k$: $$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{P(X=x_k)=f(x_k)}$$

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