Una trasformazione geometrica è una corrispondenza biunivoca che associa a ogni punto del piano un punto stesso del piano.
Ogni punto (o figura) che si ottiene mediante una trasformazione geometrica viene detto il trasformato (o l'immagine) del punto (o della figura) di partenza.
Nella figura precedente $A'$ è il trasformato di $A$, $A'B'$ è il trasformato di $AB$.
Chiamiamo punto unito un punto la cui trasformazione coincide con se stesso. Per esempio, nella rotazione precedente il punto $O$ è un punto unito.
Per determinare i punti uniti di una trasformazione basta risolvere il seguente sistema:
$$\begin{cases} x'=x\\ y'=y\end{cases}$$
dove $P'(x',y')$ è il trasformato di $P(x,y)$.
Tra tutte le trasformazioni geometriche ne esiste una particolare detta identità, la quale, a ogni punto del piano associa se stesso. Per esempio, fra le rotazioni di centro $O$ quella in cui l'angolo è nullo è l'identità.
Consideriamo di nuovo la rotazione di centro $O$ e angolo $\alpha$: osserviamo che il lato $AB$ è congruente al lato $A'B'$ e l'angolo retto viene trasformato in un angolo retto. Diciamo, dunque, che le proprietà delle figure che non cambiano nelle trasformazioni si chiamano invarianti della trasformazione.
Presentiamo ora una classificazione sintetica e intuitiva delle trasformazioni basata sugli invarianti:
Omeomorfismo
Un omeomorfismo è una trasformazione che ha le seguenti proprietà:
- a curve chiuse corrispondono curve chiuse, a curve aperte corrispondono curve aperte;
- a curve intrecciate corrispondono curve intrecciate con lo stesso numero di nodi (i punti in cui le curve intersecano se stesse);
- se un punto è intersezione di due curve, il punto che gli corrisponde risulta intersezione delle curve corrispondenti.
Possiamo dire che l'invariante di un omeomorfismo è la continuità delle figure.
Proiettività
Una trasformazione proiettiva, o proiettività, è una particolare trasformazione in cui le rette si trasformano in rette e i segmenti in segmenti. Possiamo dire che è invariante la rettilinearità.
Nelle proiettività viene in particolare conservata la convessità delle figure. I triangoli si trasformano in triangoli, i poligoni convessi in poligoni convessi con lo stesso numero di lati.
Affinità
Una trasformazione affine, o affinità, è una particolare trasformazione proiettiva, nella quale viene conservato anche il parallelismo fra rette.
L'affinità può essere espressa mediante le seguenti equazioni cartesiane:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{cases} x'=a_1x+b_1y+c_1\\ y'=a_2x+b_2y+c_2\end{cases}}$$
con la condizione che il determinante
$$D=a_1b_2-a_2b_1\neq 0$$
In particolare
- se $D > 0$ l'affinità di dice diretta, ovvero, conserva l'orientamento delle figure;
- se $D < 0$ l'affinità di dice inversa, ovvero, il contorno della figura trasformata viene percorso nel senso inverso rispetto a quello della figura originaria.
Similitudine
Una similitudine è una affinità, nella quale si conserva la forma delle figure e, in particolare, la congruenza fra gli angoli, inoltre fra i segmenti esiste un rapporto costante.
Dal punto di vista analitico, una similitudine è una particolare affinità in cui risulta $a_1=b_2$ e $a_2=-b_1$ oppure $a_1=-b_2$ e $a_2=b_1$. Cioè, le equazioni cartesiane di una similitudine possono essere di due tipi:
- Similitudine diretta ($D > 0$)
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{cases} x'=a_1x+b_1y+c_1\\ y'=-b_1x+a_1y+c_2\end{cases}}$$
- Similitudine inversa ($D < 0$)
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{cases} x'=a_1x+b_1y+c_1\\ y'=b_1x-a_1y+c_2\end{cases}}$$
Si chiama rapporto di similitudine il numero positivo
$$k=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$$
Altre proprietà delle similitudini sono:
- una similitudine trasforma segmenti in segmenti di rapporto $k$;
- una similitudine trasforma rette in rette;
- una similitudine mantiene il parallelismo e la perpendicolarità;
- una similitudine trasforma aree in aree di rapporto $k^2$, ovvero, se la figura $F'$ è l'immagine corrispondente di una figura $F$, allora: $$\frac{Area(F')}{Area(F)}=k^2$$
- il centro di similitudine è un punto unito.
Isometria
Le isometrie sono trasformazioni che descrivono, in modo astratto, i movimenti che mantengono inalterate le misure degli oggetti, ossia i movimenti rigidi.
Le isometrie, o congruenze, sono quindi particolari similitudini che hanno il rapporto di similitudine uguale $k=1$. In altre parole, esse hanno come invariante la distanza fra i punti: la distanza fra due punti è uguale alla distanza fra le loro immagini.
È importante osservare che le figure che si corrispondono in una isometria sono congruenti. Inoltre il determinante $D=\pm 1$.
Le isometrie sono di quattro tipi:
