Fissata una retta $\vec{r}:ax+by+c=0$ nel piano, una simmetria assiale di asse $\vec{r}$ è un'isometria che a ogni punto $P$ del piano associa un punto $P'$ tale che il segmento $PP'$ è perpendicolare all'asse e il punto medio $M$ di $PP'$ appartiene all'asse.
Le equazioni cartesiane di una simmetria assiale si determinano risolvendo il seguente sistema nelle incognite $x'$ e $y'$:
$$\begin{cases} m_{PP'}=-\frac{1}{m_{\vec{r}}}\\ a\frac{x+x'}{2}+b\frac{y+y'}{2}+c=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} \frac{y'-y}{x'-x}=\frac{b}{a}\\ a\frac{x+x'}{2}+b\frac{y+y'}{2}+c=0\end{cases}$$
Si ottengono cosi le equazioni della simmetria assiale:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{cases} x'=\alpha x+\beta y+\gamma\\ y'=\beta x-\alpha y+\gamma\end{cases}}$$
dove $\alpha^2+\beta^2=1$.
Osserviamo che il sistema nel sistema appena risolto, sono presenti le condizioni affinché si possa avere una simmetria assiale. In particolare, la prima equazione impone la condizione di perpendicolarità tra il segmento $PP'$ e l'asse $\vec{r}$; mentre invece, la seconda equazione impone il passaggio del punto $M\left(\frac{x+x'}{2},\frac{y+y'}{2}\right)$ per l'asse $\vec{r}$.
Proprietà della simmetria assiale
La simmetria assiale gode delle seguenti proprietà:
- in una simmetria assiale, l'asse di simmetria è l'insieme di tutti e soli i punti uniti della trasformazione;
- la simmetria assiale mantiene le relazioni di perpendicolarità e di parallelismo.
Simmetrie rispetto ad assi particolari
Quando siamo ci troviamo di fronte a simmetrie rispetto agli assi cartesiani o rette parallele agli assi cartesiani oppure bisettrici, le equazioni cartesiane si possono ricavare facilmente. Di seguito spieghiamo come.
- Rispetto l'asse $\vec{x}$ ($y=0$): $$\begin{cases} x'= x\\ y'=-y\end{cases}$$
- Rispetto l'asse $\vec{y}$ ($x=0$): $$\begin{cases} x'= -x\\ y'=y\end{cases}$$
- Rispetto a una retta parallela all'asse $\vec{x}$ ($x=x_0$): $$\begin{cases} x'=-x+2x_0\\ y'=y\end{cases}$$
- Rispetto a una retta parallela all'asse $\vec{y}$ ($y=y_0$): $$\begin{cases} x'=x\\ y'=-y+2y_0\end{cases}$$
- Rispetto alla prima bisettrice ($y=x$): $$\begin{cases} x'=y\\ y'=x\end{cases}$$
- Rispetto alla seconda bisettrice ($y=-x$): $$\begin{cases} x'=-y\\ y'=-x\end{cases}$$