In geometria Euclidea, una traslazione è una isometria che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa direzione.
In altri termini, dato un vettore $\vec{v}$ e un punto $P$, la traslazione $T_{v}$ è l'operazione che fa corrispondere tale punto a un punto $P'$ detto traslato di $P$.
$$P'=T_v(P)$$
In poche parole la traslazione è uno spostamento rigido (cioè non subisce deformazioni) sul piano.
Equazioni della traslazione nel piano
La formula generale per ottenere l'equazione traslata di un punto o di una curva nel piano è la seguente:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{ \begin{cases} x'=x+x_v\\ y'=y+y_v\end{cases}}$$
dove $(x',y')$ sono le coordinate dei punti traslati e $(x_v, y_v)$ sono le componenti dei vettori che inducono la traslazione.
Esempio
Dati i punti $A(1,2)$, $B(-3,0)$ e $C(-1,-3)$, determina i vertici del corrispondente triangolo $A'B'C'$ nella traslazione di vettore $\vec{v}=(-1,-3)$; determina inoltre, sempre nella traslazione di vettore $\vec{v}=(-1,-3)$, l'equazione della curva corrispondente di quella di equazione $x^2+y^2=2$.
Determiniamo i traslati dei punti A, B e C (A', B', C') mediante il vettore $\vec{v}=(-1,-3)$:
$$A'\begin{cases} x'=1+(-1)\\ y'=2+(-3)\end{cases}\quad\Rightarrow\quad A'(0,-1)$$ $$B'\begin{cases} x'=-3+(-1)\\ y'=0+(-3)\end{cases}\quad\Rightarrow\quad B'(-4,-3)$$ $$C'\begin{cases} x'=-1+(-1)\\ y'=-3+(-3)\end{cases}\quad\Rightarrow\quad C'(-2,-6)$$
Le coordinate della curva $x^2+y^2=2$ traslata di $\vec{v}$ sono:
$$\begin{cases} x'=x-1\\ y'=y-3\end{cases}$$
che espresse in funzione di $x$ e $y$ diventano:
$$\begin{cases} x=x'+1\\ y=y'+3\end{cases}$$
Andando a sostituire queste nell'equazione della curva data, otteniamo l'equazione della curva traslata:
$$(x+1)^2+(y+3)^2=2$$
