Sia $X$ il seguente insieme numerico: $$X=\{0\}\ \cup\ \bigg\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [1,3]$$ Quali delle seguenti asserzioni è VERA?
I punti di accumulazione di $X$ sono tutti i punti nell'intervallo $[1,3]$ e il punto limite della successione $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$ che si trova calcolando:
$$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}1-\frac{2}{n+3}=1$$
il quale è già incluso nell'intervallo $[1,3]$. Pertanto, i punti di accumulazione per $X$ sono infiniti e quindi la 1) è falsa. Inoltre il derivato di $X$ è
$$DX=[1,3]$$
il quale risulta essere un insieme infinito (perchè contiene un numero infinito di elementi) e limitato (inferiormente da 1 e superiormente da 3). Per tale motivo la risposta VERA è la 3).
I punti isolati di $X$ sono lo $0$ e tutti i punti dell'insieme $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$ esclusi quelli appartenenti a $[1,3]$. Essendo i punti isolati per $X$ infiniti, anche la 2) è falsa:
$\mathop X\limits ^\circ=]0,3[$ è falsa perchè l'interno di $X$, ovvero l'insieme dei punti interni di $X$ sono quelli presenti nell'intervallo $]1,3[$.
Infine, osserviamo che:
$$X\setminus\{0\}=\bigg\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\bigg\}\ \cup\ [1,3]$$
La sua chiusura è data dai punti di $X\setminus\{0\}$ e dai punti della sua frontiera che risultano essere quelli appartenenti a $\big\{1-\frac{2}{n+3}:n\in\mathbb N\big\}$, pertanto:
$$\overline{X\setminus\{0\}}=X\setminus\{0\}$$
L'insieme è dunque chiuso poichè coincide con la sua chiusura. Pertanto la 5) è falsa.
