Il teorema delle proiezioni dice che in un triangolo qualsiasi la misura di un lato è uguale alla somma dei prodotti di quelle degli altri due lati per il coseno dell'angolo che ciascuno di questi forma con il primo.
In formule, il teorema delle proiezioni afferma che valgono le seguenti relazioni:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{array}{l} a=b\cos\gamma+c\cos\beta\\ b=a\cos\gamma+c\cos\alpha\\ c=a\cos\beta+b\cos\alpha\end{array}}$$
Dimostrazione
Per dimostrarlo consideriamo le due figure qui in basso.
Nella prima l'altezza $AH$ del triangolo $ABC$ cade internamente al lato $BC$; si ha pertanto:
$$a=\overline{BH}+\overline{HC}=x\cos\beta+b\cos\gamma$$
Nella seconda l'altezza $AH$ cade esternamente al alto $BC$; in questo caso si ha pertanto:
$$a=\overline{BH}-\overline{CH}=x\cos\beta-b\cos(\pi-\gamma)=c\cos\beta+b\cos\gamma$$
Per il lato $a$ vale dunque, in ogni caso, il teorema delle proiezioni; in modo analogo si dimostra che vale anche per ciascuno degli altri lati.
Il teorema delle proiezioni viene utilizzato raramente per risolvere i problemi di trigonometria. Esso è utile per dimostrare il teorema del coseno del quale si fa largo uso nelle applicazioni trigonometriche.
