Il teorema del coseno (o di Carnot) è una conseguenza del teorema delle proiezioni (visto qui) e afferma che in un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi per il coseno dell'angolo tra essi compreso.
Usando un linguaggio più semplice (il matematichese ;D) il teorema del coseno dice che valgono le seguenti relazioni riferite al triangolo in basso:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{\begin{array}{l} a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha\\ b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma\end{array}}$$
Dimostrazione
Lo dimostriamo per un lato, ad esempio per $a$.
Consideriamo le tre uguaglianze che esprimono il teorema delle proiezioni per ciascuno dei lati e, seguendo l'ordine nel quale sono state scritte, moltiplichiamo entrambi i membri della prima per $a$, entrambi i membri della seconda per $-b$, entrambi i membri della terza per $-c$:
\begin{array}{l} a^2=ab\cos\gamma+ac\cos\beta\\ -b^2=-ab\cos\gamma-bc\cos\alpha\\ -c^2=-ac\cos\beta-bc\cos\alpha\end{array}
Sommando membro a membro le tre uguaglianze e riducendo i termini simili, si ottiene:
$$a^2-b^2-c^2=-2bc\cos\alpha$$ da cui si ricava $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$$
che è quanto volevamo dimostrare.
Calcolare la lunghezza del lato AB di un triangolo ABC dati due cateti e l'angolo tra essi compreso come illustrato in figura:
Applicando il teorema del coseno al triangolo qui sopra, possiamo calcolare il lato AB: $$\begin{array}{l}\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BC}\cdot\cos\gamma=\\ =4+9-12\cdot\cfrac{1}{2}=7\end{array}$$
Quindi, da $\overline{AB}^2=7$ segue che $\overline{AB}=\sqrt{7}$.
Teorema di Pitagora come conseguenza del teorema del coseno
Vale la pena di osservare che il teorema di Pitagora si può considerare un caso particolare del teorema del coseno. Infatti, se $\alpha=90^\circ$ è $\cos\alpha=0$ e pertanto per il teorema del coseno si ha:
$$a^2=b^2+c^2$$
che è appunto la relazione tra ipotenusa e cateti espressa dal teorema di Pitagora.
