In questa lezione parlo di uno degli argomenti più ostici della statistica, le trasformazioni di variabili aleatorie e in particolare ti fornirò i teoremi o i metodi necessari per calcolare la funzione di densità e la funzione di ripartizione (o cumulata) di una variabile aleatoria trasformata. Se sei capitato qui è perché stai studiando statistica nel tuo corso di laurea in Economia oppure Teoria dei segnali in Ingegneria. In ogni caso questa lezione fa al caso tuo, quindi continua a leggere oppure consulta gli esercizi svolti che trovi cliccando nel bottone qui sotto
Per ora mi concentro sulle trasformazioni di variabili continue. In seguito tratterò anche quelle le trasformazioni di variabili discrete.
Trasformazioni di variabili aleatorie del tipo $Y=g(X)$
Data una variabile aleatoria $X$ si definisce trasformazione della variabile $X$ una funzione $g$ che da vita a una nuova variabile aleatoria $Y$ che può essere scritta come $$y=g(X)$$.
$Y=\sqrt{X}$ con $X$ variabile esponenziale è un esempio di trasformazione.
Altro esempio di variabile trasformata può essere $Y=g(X)$ dove $X$ è una variabile uniforme in $[-5,-1]$ e la trasformazione $g$ è definita come segue $$g(x)=\begin{cases}1-\cfrac{x^2}{4} & |x|\leq 2\\ 0 & \mbox{altrimenti}\end{cases}$$
- metodo grafico
- Teorema fondamentale
Calcolo distribuzione di probabilità mediante metodo grafico
Il metodo grafico consiste nell'esprimere la probabilità $P(g(X) \leq y)$ in termini della funzione di ripartizione di $X$ (ossia $F_X(x))$. Per fartelo comprendere spiego questo metodo con un esempio.
Sia X una variabile aleatoria con densità di probabilità esponenziale di parametro $\lambda =0,25$. Considerata la trasformazione $$y=g(x)=\begin{cases}0 &x\leq 0,\quad x\geq 2\\0,5x & 0 < x < 2\end{cases}$$
Per la variabile aleatoria $Y=g(X)$ ricavare la funzione di ripartizione cumulata e la funzione di densità
Dato che X ha distribuzione esponenziale di parametro 0,25, la sua funzione di ripartizione è: $$F_X(x)=\begin{cases} 1-e^{-0,25 x}&\mbox{se } x > 0\\ 0 &\mbox{se } x\le 0\end{cases}$$ Inoltre, dato che la distribuzione di probabilità di X è non nulla solo per $x\geq 0$ consideriamo l'espressione di $g(x)$ solo nell'intervallo in cui $x\geq 0$ e quindi: $$g(x)=0,5x\quad 0< x < 2$$
Dato che per tali valori di X la g(x) è crescente, possiamo determinare l'immagine della $Y$ nel seguente modo:
- se $x=0\ \rightarrow \ y=0,5\cdot 0=0$
- se $x=2\ \rightarrow \ y=0,5\cdot 2=1$
Dunque la Y varia tra 0 e 1.
Siamo pronti per calcolare la funzione di ripartizione di Y caso per caso sfruttando la definizione $F_Y(y)=P(Y\leq y)$:- Banalmente per $y\leq 0$ si ha che $F_Y(y)=0$ perché $g(x)\geq 0\ \forall x\in (0,2)$
- Per $0 < y < 1$ si ha $$\begin{array}{l}F_Y(y)=P(0,5X\leq y)=\\=P(X\leq 2y)=F_X(2y)=\\=1-e^{-0,25\cdot 2y}=\\=1-e^{-0,5y}\end{array}$$
- Infine, per $y\geq 1$ $F_Y(y)=1$
Riassumiamo quanto trovato:$$F_Y(y)=\begin{cases}0 & y\leq 0\\1-e^{-0,5y} & 0 < y < 1\\ 1 & y\geq 1\end{cases}$$
A questo punto, per determinare la funzione di densità della trasformata Y, basta fare la derivata prima della funzione di ripartizione trovata:$$f_Y(y)=\begin{cases}0,5\cdot e^{-0,5y} & 0 < y < 1\\ 0 & \mbox{altrove}\end{cases}$$
Calcolo della funzione di densità tramite il teorema fondamentale
Il teorema fondamentale è utile quando dobbiamo calcolare la funzione di densità della trasformazione Y conoscendo la funzione della variabile trasformata X. Il teorema afferma che: $$f_Y(y)=\cfrac{f_X(x_1)}{|g'(x_1)|}+\dots +\cfrac{f_X(x_n)}{|g'(x_n)|}$$
in cui $x_i$ sono le radici dell'equazione $y=g(x)$ e $g'(x_i)$ è la derivata di $g$ in $x=x_i$.
Supponiamo di avere una variabile aleatoria X con densità di probabilità normale $$f_X(x)=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$. Vogliamo trovare la funzione di densità della trasformazione lineare $$Y=g(X)=2X +3$$
Notiamo che esiste una sola radice ($x_1$) dell'equazione $y=2x+3$, infatti esplicitando x otteniamo: $$x_1=\cfrac{y-3}{2}$$
Essendo $g'(x)=2$, applicando il teorema fondamentale otteniamo:$$\begin{array}{l}f_Y(y)=\cfrac{f_X(x_1)}{g'(x_1)}=\\=\cfrac{f_X\left(\frac{y-3}{2}\right)}{|2|}=\\=\cfrac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\left(\frac{y-3}{2}\right)^2/2}}{2}=\\=\cfrac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-(y-3)^2/8}\end{array}$$
