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Test di ipotesi sulla differenza fra 2 medie

In molte applicazioni è utile confrontare se due popolazioni, da cui sono estratti due campioni distinti, possono essere ritenute uguali oppure se tra esse si può riscontrare una differenza significativa.

Questi problemi possono essere risolti effettuando un test sulla differenza dei valori medi. Indicati con A e B le due popolazioni e con d l'eventuale differenza da testare tra i rispettivi valori medi, il test che possiamo condurre è uno fra i seguenti tipi: $$a)\begin{cases} H_0: \mu_A-\mu_B=d\\ H_1: \mu_A-\mu_B\neq d\end{cases}\quad b) \begin{cases} H_0: \mu_A-\mu_B\geq d\\ H_1: \mu_A-\mu_B < d\end{cases}\quad c) \begin{cases} H_0: \mu_A-\mu_B\leq d\\ H_1: \mu_A-\mu_B > d\end{cases}$$

Nei casi particolari in cui bisogna verificare se $\mu_1=\mu_2$ o $\mu_1 < \mu_2$ oppure ancora $\mu_1 > \mu_2$ il valore di $d$ sarebbe zero.

Possono verificarsi due casi a seconda la numerosità del campione e la conoscenza o meno della varianza della popolazione.

Statistica test per grandi campioni o popolazioni normali con varianze note

In questo caso si utilizza la statistica test con distribuzione normale: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{Z_{test}=\frac{(\overline{x}_A-\overline{x}_B)-d}{\sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A}+\frac{\sigma_B^2}{n_B}}}\simeq \frac{(\overline{x}_A-\overline{x}_B)-d}{\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A}+\frac{s_B^2}{n_B}}} }$$

La formula precedente può essere usata sia nel caso di popolazioni normali con varianze $\sigma_A^2$ e $\sigma_B^2$ note e sia nel caso di grandi campioni con varianze campionarie $s_A^2$ e $s_A^2$ note.

Fissato un livello di significatività $\alpha$ e letto dalle tavole della distribuzione normale il valore critico corrispondente $z_{1-\alpha}$ o $z_{1-\frac{\alpha}{2}}$ diremo che l'esito del test è

  1. per test bilaterali del tipo a): "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $|Z_{test}| > z_{1-\frac{\alpha}{2}}$
  2. per test unilaterali del tipo b) e c): "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $Z_{test}\ \spadesuit\ z_{1-\alpha}$
    dove $\spadesuit$ è il verso presente nell'ipotesi alternativa $H_1$ (< nel tipo b) e > nel tipo c)

Statistica test per piccoli campioni estratti da popolazioni con varianze sconosciute

In questo caso si può utilizzare la statistica test con distribuzione t di Student: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{T_{test}=\frac{(\overline{x}_A-\overline{x}_B)-d}{\sqrt{S^2\left (\frac{1}{n_A}+\frac{1}{n_B}\right )}}}$$ dove $S^2$ si chiama varianza congiunta ed è data da: $$S^2=\frac{(n_A-1)\cdot s_A^2+(n_B-1)\cdot s_B^2}{n_A+n_B-2}$$

I gradi di libertà sono $\nu=n_A+n_B-2$.

Fissato un livello di significatività $\alpha$ e letto dalle tavole della distribuzione t di Student il valore critico corrispondente $t_{\alpha}(\nu)$ o $t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu)$ diremo che l'esito del test è

  • per test bilaterali del tipo a): "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $|T_{test}| > t_{\frac{\alpha}{2}}(\nu)$
  • per test unilaterali del tipo b) e c): "si rifiuta l'ipotesi nulla $H_0$ se $T_{test}\ \spadesuit\ t_{\alpha}(\nu)$
    dove $\spadesuit$ è il verso presente nell'ipotesi alternativa $H_1$ (< nel tipo b) e > nel tipo c)

Osserviamo infine che il procedimento descritto per condurre il test di ipotesi sulla differenza tra due medie, vale sia per dati appaiati (cioè situazioni in cui i due gruppi di dati hanno la stessa numerosità del campione) sia per dati non appaiati.

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