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Distribuzione normale In evidenza

La distribuzione continua di gran lunga più usata è la distribuzione normale o di Gauss (nome dell'inventore).

Il termine distribuzione normale deriva dalla convizione (non del tutto corretta) che gli errori accidentali o casuali, commessi effettuando misure ripetute, si distribuiscano secondo tale curva.

Questa distribuzione, è particolarmente importante sia perchè risulta utile in numerose applicazioni pratiche, sia perchè può sovente essere utilizzata come distribuzione limite in quanto è una distribuzione alla quale tendono altre distribuzioni sotto condizioni abbastanza generali. Quest'ultima caratteristica viene messa in evidenza nel famoso Teorema del Limite Centrale.

Una variabile aleatoria continua $X$ con media $\mu$ e scarto quadratico medio $\sigma$ ha distribuzione normale (e si indica con $X\sim N(\mu,\sigma)$) se la sua funzione di densità è:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}}$$

Qui in basso è rappresentato il suo grafico.

Curva di Gauss: curva della distribuzione normale

Le caratteristiche fondamentali della curva di Gauss $f(x)$ sono:

  • la forma a campana;
  • la simmetria rispetto al valor medio $\mu$;
  • il massimo per $x=\mu$, dove l'ordinata corrisponde a $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$;
  • i punti $\mu-\sigma$ e $\mu+\sigma$ sono punti di flesso
  • Quanto più $x$ si allontana da $\mu$ tanto più $f(x)$ decresce e tende asintoticamente a zero.

$\mu$ viene anche indicato come centro della distribuzione e caratterizza la posizione della curva sull'asse delle ascisse: al variare di $\mu$ la curva si sposta lungo l'asse $x$, ma resta invariata nella sua forma.

Variazione della curva di Gauss al variare del valor medio

Il parametro $\sigma$, invece, caratterizza la forma della curva, in quanto è una misura della dispersione dei valori attorno al valore medio: al variare di $\sigma$ la curva cambia forma: infatti al crescere di $\sigma$ la curva si appiattisce e si allarga, mentre al diminuire di $\sigma$ la curva si restringe e si alza.

Variazione della curva di Gauss al variare dello scarto quadratico medio

La funzione di distribuzione o funzione di ripartizione normale è data da:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}\ dt}$$

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