Distribuzione normale

La distribuzione continua di gran lunga più usata è la distribuzione normale o di Gauss (nome dell'inventore).

Il termine distribuzione normale deriva dalla convizione (non del tutto corretta) che gli errori accidentali o casuali, commessi effettuando misure ripetute, si distribuiscano secondo tale curva.

Questa distribuzione, è particolarmente importante sia perchè risulta utile in numerose applicazioni pratiche, sia perchè può sovente essere utilizzata come distribuzione limite in quanto è una distribuzione alla quale tendono altre distribuzioni sotto condizioni abbastanza generali. Quest'ultima caratteristica viene messa in evidenza nel famoso Teorema del Limite Centrale.

Una variabile aleatoria continua $X$ con media $\mu$ e scarto quadratico medio $\sigma$ ha distribuzione normale (e si indica con $X\sim N(\mu,\sigma)$) se la sua funzione di densità è:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}}$$

Qui in basso è rappresentato il suo grafico.

Curva di Gauss: curva della distribuzione normale

Le caratteristiche fondamentali della curva di Gauss $f(x)$ sono:

  • la forma a campana;
  • la simmetria rispetto al valor medio $\mu$;
  • il massimo per $x=\mu$, dove l'ordinata corrisponde a $\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$;
  • i punti $\mu-\sigma$ e $\mu+\sigma$ sono punti di flesso
  • Quanto più $x$ si allontana da $\mu$ tanto più $f(x)$ decresce e tende asintoticamente a zero.

$\mu$ viene anche indicato come centro della distribuzione e caratterizza la posizione della curva sull'asse delle ascisse: al variare di $\mu$ la curva si sposta lungo l'asse $x$, ma resta invariata nella sua forma.

Variazione della curva di Gauss al variare del valor medio

Il parametro $\sigma$, invece, caratterizza la forma della curva, in quanto è una misura della dispersione dei valori attorno al valore medio: al variare di $\sigma$ la curva cambia forma: infatti al crescere di $\sigma$ la curva si appiattisce e si allarga, mentre al diminuire di $\sigma$ la curva si restringe e si alza.

Variazione della curva di Gauss al variare dello scarto quadratico medio

La funzione di distribuzione o funzione di ripartizione normale è data da:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{F(x)=P(X\le x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^xe^{-\frac{1}{2}\left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2}\ dt}$$

Distribuzione normale standard

Per determinare la probabilità che la variabile aleatoria normale assuma un valore compreso in un determinato intervallo $(a,b)$ è necessario calcolare l'area sotto la curva compresa tra $a$ e $b$ (vedi figura in basso).

Distribuzione normale standard

Questo significherebbe calcolare il seguente integrale:

$$P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\ dx=\int_a^b \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}\ dx$$

che riscritto in termini di funzione di ripartizione diventa:

$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$$

Ma questo integrale non è affatto semplice e risulta essere un calcolo troppo dispendioso per la risoluzione di esercizi sulla probabilità di variabili normali.

Per ovviare a ciò, si è pensato di tabulare i valori della funzione di ripartizione (e quindi dell'area sotto la curva) su un'unica tavola numerica. Questo è stato possibile introducendo la seguente trasformazione detta standardizzazione della variabile normale $X$:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{Z=\frac{X-\mu}{\sigma}}$$

ottenendo, così, una variabile aleatoria normale standardizzata $Z$ con valor medio $E(Z)=\mu = 0$ e varianza $VAR(Z)=\sigma^2 = 1$ ($Z\sim N(0,1)$).

Inoltre, si ha:

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}$$

e

$$F(z_0)=P(Z\le z_0)=\int_{-\infty}^{z_0} f(z)\ dz=\int_{-\infty}^{z_0}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}\ dz$$

Come si può vedere, la funzione di densità e la sua funzione di ripartizione, grazie alla trasformazione, dipendono da un'unica variabile $Z$, pertanto è stato possibile costruire una tavola numerica con i valori delle funzioni al variare di $Z$.

Tale tavola permette di determinare il valore della probabilità per qualsiasi intervallo. Vediamo come utilizzarle fornendo tutti gli esempi del caso.

Esempio 1

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero positivo $z=1,6$

Dobbiamo determinare $P(Z\le 1,6)$ ovvero il valore della funzione di ripartizione $F(z=1,6)$. Leggiamo la tavola: nella prima colonna sono riportati la parte intera e la prima cifra decimale di $z$, mentre, nella prima riga, la seconda cifra decimale di $z$.

I valori della funzione di ripartizione sono riportati all'interno della tabella.

Per $z=1,6$ si procede nella colonna segnata $z$ fino a $1,6$ e poi si procede a destra e si legge il valore nella prima colonna (segnata 0); la probabilità risulta:

$$F(Z=1,60)=P(Z\le 1,60)=0,9452$$

Questa probabilità è rappresentata nell'area ombreggiata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore minore di un numero positivo

Esempio 2

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero positivo $z=0,65$

Dobbiamo calcolare $P(Z\ge 0,65)$. Poichè nella tavola sono tabulati soltanto i valori della funzione di ripartizione (ovvero le probabilità che $Z$ sia minore o uguale di un certo valore $z$), possiamo calcolare la probabilità richiesta osservando che:

$$P(Z\ge 0,65)=1-P(Z < 0,65)=1-F(Z=0,65) = 1- 0,7422= 0,2578$$

dove $F(Z=0,65)$ è stata calcolata come nel primo esempio già visto: procedendo nella colonna segnata da $z$ fino a $0,6$ e poi, procedendo a destra fino alla colonna segnata $5$, si legge il valore $0,7422$.

La probabilità è rappresentata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore maggiore di un numero negativo

Esempio 3

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia minore di un numero negativo $z=-1,12$

La probabilità cercata è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura sotto.

Probabilità che Z assume un valore minore di un numero negativo

Dobbiamo trovare $P(Z < -1,12)$. Per determinare tale probabilità si può osservare che la curva è simmetrica rispetto al valore $z=0$, pertanto:

$$P(Z < -1,12)=P(Z > 1,12)$$

e dunque, per quello fatto nel secondo esempio:

$$P(Z > 1,12)=1-F(Z=1,12)=1-0,8686=0,1314$$

Esempio 4

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia maggiore di un numero negativo $z=-0,93$

Dobbiamo trovare $P(Z > -0,93)$. Sempre grazie alla simmetria della curva rispetto al valore $z=0$, si ha:

$$P(Z > -0,93) = P(Z < 0,93)=0,8238$$

Probabilità che Z assume un valore maggiore di un numero negativo

Esempio 5

Calcolare la probabilità che la variabile standardizzata $Z$ sia compresa tra due valori $z_1=0,6$ e $z_2=1,3$

La probabilità cercata è $P(0,6 < Z < 1,3)$ ed è rappresentata dall'area ombreggiata nella figura qui sotto.

Probabilità che Z assume un valore compreso tra due numeri

Per determinare tale probabilità si può osservare che:

$$P(0,6 < Z < 1,3)=F(Z=1,3)-F(Z=0,6)=0,9032-0,7257=0,1775$$

dove i valori di $F(Z=1,3)$ e $F(Z=0,6)$ sono stati determinati leggendoli dalla tavola della distribuzione normale così come fatto negli esempi precedenti.

Per mezzo della trasformazione vista all'inizio di questo articolo

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

è possibile determinare la probabilità che una generica variabile aleatoria normale $X$, con media $\mu$ e deviazione standard $\sigma$ appartenga ad un intervallo $(a,b)$.

Facciamo subito qualche esempio.

Esempio 6

Sia $X$ una variabili aleatoria normalmente distribuita con media $\mu=10$ e deviazione standard $\sigma=3$. Determinare le seguenti probabilità:

  1. $P(X\le 13)$;
  2. $P(X\ge 14,5)$;
  3. $P(-6\le X\le 12)$.

Calcolo probabilità 1: per poter calcolare tale probabilità, occorre dapprima standardizzare la variabile $X$ e quindi il valore $x=13$:

$$P(X\le 13)=P\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\le\frac{13-10}{3}\right)=P(Z\le 1)=F(Z=1)=0,8413$$

Il valore $F(Z=1)$ è stato letto sulla tavole della distribuzione normale come fatto precedentemente in questo articolo.

Calcolo probabilità 2:

$$P(X\ge 14,5)=P\left(Z\ge\frac{14,5-10}{3}\right)=P(Z\ge 1,5)=1-F(Z=1,5)=1-0,9332=0,0668$$

Calcolo probabilità 3:

$$\begin{array}{l} &P(-6\le X\le 12) = P\left(\frac{-6-10}{3}\le Z\le\frac{12-10}{3}\right)=\\ &=P(-5,33\le Z\le 0,67)=\\ &=P(Z\le 0,67)- P(Z\le -5,33)= \\ &=P(Z\le 0,67)-[1-P(Z\le 5,33)]=\\ &= F(Z=0,67)-1+F(Z=5,33)=\\ &=0,7794-1+1=0,7794\end{array}$$

Da notare che la $F(Z=5,33)\simeq 1$ poichè il valore $z=5,33$ si trova nell'estrema curva destra della distribuzione.

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