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T test per dati appaiati

Spieghiamo praticamente con un esempio come condurre un test di ipotesi per il quale disponiamo di due gruppi di dati dipendenti tra loro. Tale tipo di test è chiamato test t di Student per dati appaiati

Sono stati provati due diversi sonniferi (A e B) su un campione di piccole dimensioni di pazienti affetti da insonnia. Ogni paziente ha assunto entrambi i sonniferi, l'ordine di assunzione è stato deciso in modo casuale e per ogni periodo di trattamento è stato registrato il numero medio di ore di sonno guadagnate. Verificare quale farmaco garantisce la risposta attesa migliore sapendo che i risultati delle prove sono i seguenti:

Test di ipotesi per la differenza tra due medie con varianza nota

Assumiamo che le variabili risposte seguano una distribuzione normale:

$$A_i\sim N(\mu_A,\sigma_A^2)\quad\quad, B_i\sim N(\mu_B,\sigma_B^2)$$

Trattandosi di risposte osservate sullo stesso paziente è naturale considerare la loro differenza $D_i=B_i-A_i$, la quale segue anch'essa una distribuzione normale:

$$D_i\sim N(\mu_{B-A},\sigma_{B-A}^2)$$

dove $\sigma_{B-A}^2=VAR(B_i-A_i)$ è la varianza della popolazione.

Le ipotesi da sottoporre a test sono:

  1. $H_0:\mu_{B-A}=0$
  2. $H_1:\mu_{B-A}\neq 0$

Costruiamo la statistica test a partire dallo stimatore naturale del valore atteso in un modello normale, cioè la media campionaria:

$$\overline{D}=\frac{\sum\limits_{n=1}^{10} D_i}{n}=1,58$$

Ricordiamo che $\overline{D}\sim N\left(\mu_{B-A},\frac{\sigma_{B-A}^2}{n}\right)$$

dove $\sigma_{B-A}^2$ (essendo sconosciuta) può essere approssimata con la varianza campionaria $S_{B-A}^2$.

$$\sigma_{B-A}^2\simeq S_{B-A}^2=\frac{\sum\limits_{n=1}^{10}(D_i-\overline{D})^2}{n-1}=1,5129$$

Passiamo così, da una statistica distribuita normalmente ad una distribuita secondo una t di Student con n-1 gradi di libertà:

$$T_{test}=\frac{\overline{D}-\mu_{B-A}}{\frac{S_{B-A}}{\sqrt{n}}}=\frac{1,58-0}{\frac{1,23}{\sqrt{10}}}=4,062$$

Scegliendo $\alpha=0,05$, dalle tavole ricaviamo il valore critico:

$$t_{\frac{\alpha}{2},9}=t_{0,025,9}=2,262$$

Poichè $|T_{test}|=4,062 > t_{0,025,9}=2,262$ rifiutiamo l'ipotesi nulla dicendo che i due sonniferi hanno prodotto un effetto differente sui pazienti.

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