Lo scostamento medio semplice assoluto è un indice di dispersione che tiene conto di tutti i valori del fenomeno analizzato. Lo scostamento semplice medio assoluto si può calcolare in due modi:
- Determinando gli scostamenti assoluti di tutti i dati dal valore medio (scostamento medio semplice assoluto dalla media)
- Determinando gli scostamenti assoluti di tutti i dati dalla mediana (scostamento medio semplice assoluto dalla mediana)
Scostamento medio semplice assoluto dalla media
Una misura della variabilità che tiene conto di tutti i valori ed è molto semplice da calcolare è lo scarto semplice medio assoluto
Lo scostamento medio assoluto di una distribuzione dalla media aritmetica $s_{\overline{x}}$ è una misura di variabilità che tiene conto di tutti i valori della distribuzione e si calcola in modo semplice facendo la media aritmetica degli scarti assoluti dei singoli dati dalla loro media.
Nel caso di $n$ dati non raggruppati si ha:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{s_{\overline{x}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|}{n}}$$
Nel caso di $n$ dati raggruppati in $k$ classi ciascuna con frequenza $n_i$:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{s_{\overline{x}}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^k|x_i-\overline{x}|n_i}{n}}$$
Scostamento medio semplice assoluto dalla mediana
Quando si vuole calcolare lo scostamento medio assoluto rispetto alla mediana si procede in modo analogo a quanto fatto per la media aritmetica sostituendo la mediana $M$ al posto del valor medio $\overline{x}$:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{s_M=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^n|x_i-M|}{n}}$$
Nel caso di $n$ dati raggruppati in $k$ classi ciascuna con frequenza $n_i$:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{s_M=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^k|x_i-M|n_i}{n}}$$
Lo scarto medio assoluto dalla mediana è sempre minore dallo scarto medio assoluto dalla media. Sussiste, dunque, la seguente relazione: $$s_M < s_{\overline{x}}$$
Esempio di calcolo degli scostamenti medi assoluti dalla media e dalla mediana
Calcoliamo entrambi gli scostamenti medi assoluti del seguente insieme di dati $$2,5,4,7,2,8,9$$
Innanzitutto è necessario calcolare la media e, dopo aver ordinato i dati (2,2,4,5,7,8,9), la mediana: $$\begin{eqnarray} \overline{x}&=&\frac{2+5+4+7+2+8+9}{7}=5.29\\ M&=& 5\end{eqnarray}$$
Calcoliamo gli scostamenti dal valore medio in valore assoluto e li sommiamo:$$\begin{array}{l}|2-5.29|+|5-5.29|+\\ +|4-5.29|+|7-5.29|+\\|2-5.29|+|8-5.29|+\\+|9-5.29|=16.31\end{array}$$
Lo scostamento medio semplice assoluto dalla media è quindi: $$s_{\overline{x}}=\cfrac{16.31}{7}=2.33$$
Calcoliamo adesso gli scostamenti dalla media in valore assoluto e li sommiamo:$$\begin{array}{l}|2-5|+|5-5|+\\ +|4-5|+|7-5|+\\|2-5|+|8-5|+\\+|9-5|=16.03\end{array}$$
Lo scostamento medio semplice assoluto dalla media è quindi: $$s_M=\cfrac{16.03}{7}=2.29$$
