Esercizi sulla distribuzione binomiale

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In questa pagina trovi ben 15 problemi risolti sul calcolo delle probabilità di variabili con distribuzione binomiale. In particolar modo, facendo uso della definizione di distribuzione binomiale e delle proprietà che la caratterizzano, evidenzio come capire dal testo di un esercizio che la variabile aleatoria in esame ha distribuzione binomiale. Gli esercizi che ti propongo sono interamente svolti e contenuti in un PDF scaricabile. Qui di seguito ti elenco le tracce.

Nota che gli ultimi 3 esercizi hanno una difficoltà superiore.

 

Esercizio 1
Supponiamo di lanciare 7 monete non truccate, calcolare la probabilità che:
  1. esca una volta testa;
  2. esca almeno due volte testa

 

Esercizio 2
Si supponga di lanciare simultaneamente 5 monete bilanciate. Si vuole sapere qual è la probabilità di avere non più di una testa.

 

Esercizio 3
Un produttore di birra afferma che il 10% al massimo delle sue lattine contiene meno birra di quanto dichiarato sull'etichetta. Per verificare l'affermazione, si scelgono a caso 16 lattine di birra e se ne pesa il contenuto: l'affermazione è verificata se meno di 3 lattine contengono meno birra di quanto dichiarato.

Determinare la probabilità che quanto dichiarato dal produttore venga confermato se la percentuale reale di lattine che contengono meno birra di quanto dichiarato in etichetta è:

  1. 5%
  2. 10%

 

Esercizio 4
Ognuno dei 7 giudici di una corte prenderà la decisione corretta, indipendentemente dagli altri, con una probabilità di 0.7. Se la decisione viene presa a maggioranza.
  1. qual è la probabilità che la giuria prenda la decisione corretta?
  2. Sapendo che quattro giudici sono in accordo, qual è la probabilità che la giuria prenda la decisione corretta?

 

Esercizio 5
In un'azienda ci sono 5 macchine. La probabilità che una macchina si rompa è 0.2 e non possono essere aggiustate fino a fine giornata. Calcolare il numero di macchine più probabilmente in funzione a fine giornata.

 

Esercizio 6
Una certa forma influenzale colpisce il 20% delle persone. Supponendo che in un'aula siano presenti 60 persone, calcolare la probabilità che almeno 10 siano infettate.

 

Esercizio 7
Sulla base della passata esperienza il responsabile della produzione di un'azienda ritiene che solo l'80% dei pezzi prodotti superi il controllo di qualità. Determinare la probabilità che di 8 pezzi prodotti:
  1. cinque pezzi superino il controllo qualità
  2. tutti i pezzi superino il controllo qualità
  3. almeno 4 pezzi superino il controllo qualità

 

Esercizio 8
La probabilità che un virus colpisca una persona è 0.26 in una comunità di 30 persone. Si calcoli la  probabilità che il virus abbia colpito almeno 7 ma non più di 10 persone.

 

Esercizio 9
La probabilità di trovare un certo numero telefonico è pari al 60%. Ho la necessità di effettuare 3 conversazioni. Qual è la probabilità che riesca a finire il mio lavoro entro le prime 8 chiamate.

 

Esercizio 10
Il centralino di un numero verde è libero con probabilità 0.6. Pietro ha bisogno di ottenere due risposte che non può avere in un'unica chiamata.
  1. Qual è la probabilità che debba telefonare più di 5 volte per ottenere le risposte alle sue richieste?
  2. Quante telefonate devo programmare per avere una probabilità inferiore al 5% di non riuscire a ottenere le due risposte

 

Esercizio 11
Nel testare un determinato tipo di pneumatici per camion su un terreno accidentato, si è scoperto che il 25% dei camion fallisce al test in quanto il pneumatico si fora. Assumi che 15 camion vengono sottoposti a test indipendentemente l'uno dall'altro e indica con X la variabile aleatoria che denota il numero di camion che falliscono al test
  1. Quali valori può assumere X e qual è la sua funzione di massa di probabilità?
  2. Determinare il valore atteso e la varianza di X
  3. Calcolare la probabilità che il numero di camion che falliscono al test sia inferiore a 3

 

Esercizio 12
In un codice di 2500 istruzioni (corrispondenti ad altrettante righe di codice) sono stati inseriti accidentalmente 25 bachi. Assumiamo per semplicità che ciascuno possa essere scoperto esaminando una specifica riga di codice. Un tester si appresta a verificare individualmente un sotto-insieme di righe scelte a caso.
  1. Se esegue n=5 verifiche qual è la probabilità che trovi almeno un baco?
  2. Se esegue n=5 verifiche qual è la probabilità che trovi almeno due bachi?
  3. Se n=25 verifiche qual è la probabilità che queste trovino rispettivamente 0,1,2 bachi?
  4. Se n=250 verifiche, si dica con il 68,3% di probabilità, quante corrispondono ad un baco. (Si esprima un intervallo e si utilizzino, se occorre, degli arrotondamenti a valori interi)

 

Esercizio 13 (Calcolo probabilità di nascita di 2 o più piante con fiori bianchi da 5 semi)

Una busta contiene semi di una pianta che produce fiori bianchi nel 40% dei casi o rossi altrimenti. Qual è la probabilità che piantando 5 semi si abbiano

  1. 3 piante a fiori rossi?
  2. 3 o più piante a fiori bianchi?
  3. Quanti semi bisogna piantare affinché la probabilità di avere una o più piante a fiori rossi sia maggiore dell'80%?

 

Esercizio 14 (Calcolo probabilità di una distribuzione binomiale tramite il teorema sulla probabilità totale)

Una scatola contiene 3 palline numerate con 1, 2 e 4. Viene estratta a caso una pallina e successivamente si lancia una moneta (assumere P(Testa)=$p$) un numero di volte pari a quello riportato sulla pallina. Sia $X$ la v.a. "numero di teste", trovare

  1. i possibili valori assunti da $X$ e le rispettive probabilità;
  2. il valore atteso e la varianza di $X$
  3. La probabilità di ottenere al più due teste

 

Esercizio 15 (Calcolo probabilità di una v.a. binomiale con approssimazione alla normale)

Data una popolazione in cui il 40% degli individui possiede una certa caratteristica A, determinare la probabilità che in un campione di 2000 elementi, estratti con ripetizione, la quota di elementi con una certa caratteristica A sia compresa fra il 38% ed il 45%
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