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Approssimazione distribuzione binomiale con la distribuzione di Poisson

Prima di capire come e quando è possibile approssimare una binomiale con una Poisson, è fondamentale capire perchè queste due distribuzioni di variabili aleatorie discrete sono diverse tra loro.

Una importante differenza tra la distribuzione di Poisson e la binomiale riguarda i numeri di prove e di successi: per una distribuzione binomiale il numero $n$ di prove è finito e il numero $k$ di successi non può superare $n$; per la distribuzione di Poisson il numero di prove è essenzialmente infinito e il numero di successi può essere infinitamente grande.

La distribuzione di Poisson può essere utilizzata per approssimare una distribuzione binomiale di parametri $n$ e $p$, quando il numero di prove $n$ è grande e la probabilità di successo $p$ è piccola, ossia si tratta di un evento raro.

Infatti, si dimostra che la distribuzione di Poisson è il limite della distribuzione binomiale per $n\rightarrow +\infty$ e con $\lambda=np$: $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}{n\choose k}p^k(1-p)^{n-k}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$$

Una regola pratica accettabile è quella di usare questa approssimazione se $n\ge 50$ e $p\le 0.1$. La regola comunque non è rigida: si può dire che più è piccola la probabilità $p$, migliore è l'approssimazione, e analogamente più è grande $n$, migliore è l'approssimazione.

Applicazione dell'approssimazione della binomiale con la Poisson

Se la probabilità che una persona sia allergica a un dato farmaco è $p=0.001$, determinare la probabilità che su 2000 persone più di 2 siano allergiche.

La variabile $X=$ numero di persone allergiche è una variabile con distribuzione binomiale, ma, poichè un caso di allergia è un evento raro (dato che $p$ è molto piccola), si può supporre che $X$ segua la distribuzione di Poisson. Osservando che $$n=2000,\quad p=0.001,\quad \lambda=np=2000\cdot 0.001=2$$ si ha: $$\begin{eqnarray} P(X>2)&=& 1-P(X\le 2)=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)]=\\ &=&1-\left(e^{-2}+\frac{e^{-2}2^1}{1!}+\frac{e^{-2}2^2}{2!}\right)=1-5e^{-2}=0.3233\end{eqnarray}$$

Il calcolo della probabilità con la distribuzione binomiale è molto più laborioso: provare per credere!

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