La ricerca di eventuali simmetrie della funzione rappresenta un passaggio molto importante durante lo studio di una funzione. Infatti, vedremo che, se una funzione è pari o dispari risultano molto più semplici e rapidi i calcoli dato che basta limitare lo studio a una metà del suo dominio, ossia $x>0$.
Funzioni pari
Una funzione $f(x)$ si dice pari se vale la seguente relazione:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f(-x)=f(x)}$$
Una funzione pari è quindi simmetrica rispetto l'asse $\overrightarrow{y}$. In termini di grafico, questo significa che la parte di funzione per $x>0$ è speculare alla parte di funzione per $x<0$.
Esempio
$$f(x)=x^2\log x^2$$La funzione è pari perché sostituendo $-x$ al posto di $x$ ottengo sempre la $f(x)$:
$$f(-x)=(-x)^2\log (-x)^2=x^2\log x^2=f(x)$$
Un altro esempio di funzione pari è quella che ti ho mostrato nel video qui in basso. Guardalo per scoprire come studiare una funzione velocemente sfruttando la simmetria rispetto all'asse y.
Funzioni dispari
Una funzione $f(x)$ si dice dispari se vale la seguente relazione:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{f(-x)=-f(x)}$$
Una funzione dispari è quindi simmetrica rispetto all'origine degli assi. Stavolta, abbiamo 2 assi di simmetria: la prima bisettrice, cioè la retta che divide in due parti uguali il 1º e il 3º quadrante e la seconda bisettrice, ovvero, la retta che divide in due parti uguali il 2º e il 4º quadrante.
Esempio
$$f(x)=-xe^{x^2-1}$$Tale funzione è dispari poiché, calcolando la $f$ in $-x$ ottengo l'opposto della $f$:
$$f(-x)=-\left[(-x)e^{(-x)^2-1}\right]=xe^{x^2-1}=-\left[-xe^{x^2-1}\right]=-f(x)$$
Osservazione
Nota che i grafici non possono essere tracciati se non viene effettuato uno studio completo della funzione. In questo articolo sono stati inseriti con lo scopo di dare un'idea grafica di funzione pari e funzione dispari.