Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l'incognita non è presente in alcun denominatore.
Esempio
Sono equazioni numeriche intere le seguenti:
- $2x-5=0$ (coefficienti interi)
- $\frac{1}{2}x-3=\frac{1}{5}$ (coefficienti frazionari)
- $\sqrt{3}x-1=0$ (coefficienti irrazionali)
Applicando i principi di equivalenza, è sempre possibile trasformare un'equazione di primo grado intera in un'equazione equivalente scritta nella forma $ax=b$, ossia tale che il primo membro contenga il termine con l'incognita e il secondo membro contenga il termine noto. Si possono verificare 3 casi:
- Se $a\neq 0$, per risolvere un'equazione scritta in questa forma, basta dividere entrambi i membri per il coefficiente di $x$ (cioè $a$), ottenendo: $$x=\frac{b}{a}$$
- Se si verificano entrambe le condizioni $a=0$ e $b=0$, abbiamo $0x=0$. Sostituendo a $x$ un qualunque numero, l'uguaglianza è sempre verificata dato che qualsiasi numero moltiplicato per $0$ dà come risultato $0$. Poichè l'equazione $0x=0$ ha infinite soluzioni, l'equazione è indeterminata
- Se si verificano le due condizioni $a=0$ e $b\neq 0$, abbiamo $0x=b$, con $b\neq 0$. Questa equazione non ha soluzioni, poichè non esiste un numero che moltiplicato per $0$ dia come risultato un numero diverso da $0$. Non avendo soluzioni, l'equazione è impossibile.
Esempio
Risolviamo l'equazione numerica $$4x-9+(x-1)(x+1)=(x-3)^2+2x+5$$
Svolgiamo i calcoli sviluppando i prodotti notevoli presenti:
$$4x-9+\cancel{x^2}-1=\cancel{x^2}-6x+9+2x+5$$
Cancelliamo i termini uguali presenti in entrambi i membri (vedi regola di cancellazione):
$$4x-9-1=-6x+9+2x+5$$
Riduciamo i termini simili:
$$4x-10=-4x+14$$
Trasportiamo, nel primo membro i termini con l'incognita e nel secondo i termini noti, ricordando di cambiare di segno a ogni termine che viene trasportato da una parte all'altra dell'uguale (vedi regola del trasporto):
$$4x+4x=14+10$$
Riduciamo ancora una volta i termini simili:
$$8x=24$$
Siamo giunti a un'equazione di primo grado scritta nella forma richiesta. Per risolverla, dividiamo i due membri per $8$, cioè per il coefficiente di $x$:
$$\frac{8x}{8}=\frac{24}{8}$$
La soluzione è
$$x=3$$
Esempio
Risolviamo l'equazione numerica $$4x-12-3x=5+x-17$$
Trasportiamo al primo membro i termini contenenti l'incognita, al secondo membro i termini noti:
$$4x-3x-x=12+5-17$$
Riducendo in termini simili otteniamo:
$$0x=0$$
Questo vuol dire che l'equazione è indeterminata.
Esempio
Risolviamo l'equazione numerica $$2(x-1)-2x=0$$
Facendo il prodotto al primo membro otteniamo:
$$2x-2-2x=0$$
Riducendo i termini simili si ha:
$$0x-2=0$$
Trasportando il $-2$ a secondo membro risulta:
$$0x=2$$
che è un'equazione impossibile e quindi non ha soluzioni.