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Equazioni di primo grado

Un'equazione di primo grado è un'uguaglianza tra due espressioni algebriche di primo grado vera solo per alcuni valori che si attribuiscono all'incognita.

Esempio

L'uguaglianza $$ 3x+1=2x+6 $$
è un'equazione di primo grado nell'incognita $x$. $3x+1$ è detto primo membro dell'equazione, mentre $2x+6$ è chiamato secondo membro dell'equazione.

Ogni numero che, sostituito all'incognita, fa in modo che il primo membro abbia lo stesso valore del secondo membro, viene chiamato soluzione dell'equazione o radice dell'equazione.

Risolvere un'equazione di primo grado significa trovare la soluzione, ovvero, come appena detto, trovare quel numero che sostituito al posto dell'incognita, rende vera l'uguaglianza tra i due membri. In altre parole potremmo dire che la soluzione dell'equazione è quel valore che soddisfa l'equazione.

Esempio

Se sostituiamo il valore $2$ al posto dell'incognita $x$ nell'equazione precedente otteniamo: $$ 3\cdot 2+1=2\cdot 2+6 $$ risolvendo otteniamo: $$ 7=10 $$ che non è un'uguaglianza. Questo vuol dire che $2$ non è la soluzione dell'equazione iniziale. Se invece, facessimo lo stesso procedimento con il numero $5$ otterremmo: $$ 3\cdot 5+1=2\cdot 5+6\Rightarrow 16=16 $$ che è un'uguaglianza. Questo significa che $5$ è la soluzione dell'equazione iniziale.

 

Si possono verificare tre casi distinti:

  1. L'equazione di primo grado non ha nessuna soluzione: quando nessun numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione. Ad esempio l'equazione $3x+1=5x-2x-8$ non ha soluzioni. In questo caso si dice che l'equazione è impossibile
  2. L'equazione di primo grado ha un'unica soluzione: quando un solo numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione. Ad esempio l'equazione $2x+1=5x-8$ ha una sola soluzione che è $3$. In questo caso si dice che l'equazione è determinata.
  3. L'equazione di primo grado ha infinite soluzioni: quando qualsiasi numero sostituito al posto dell'incognita, soddisfa l'equazione. Ad esempio l'equazione $3x+1=5x-2x-8+9$ ha infinite soluzioni. In questo caso si dice che l'equazione è indeterminata o che è un'identità.

Le equazioni di primo grado si suddividono in $3$ categorie principali

  • Equazione di primo grado INTERA: quando l'incognita compare solo al numeratore, ad esempio $3x+1=2x-7$
  • Equazione di primo grado FRATTA: quando l'incognita compare al denominatore in almeno uno dei due membri, ad esempio $\frac{3}{x}+1=2x-7$.
  • Equazione di primo grado LETTERALE: quando, oltre all'incognita, compaiono altre lettere, ad esempio $2xa-3=3xb+4$.

I principi di equivalenza

Elenchiamo, adesso, le regole che ci permettono di svolgere le equazioni di primo grado. Tali regole sono note con il nome di principi di equivalenza.

 

Primo principio di equivalenza o regola del trasporto

Il primo principio di equivalenza delle equazioni dice che sommando o sottraendo ambo i membri per uno stesso numero o una stessa espressione algebrica, l'equazione ottenuta è equivalente a quella data.

Esempio

Data l'equazione $$ 4x-2=6 $$ che ha soluzione $x=2$, se si addiziona entrambi i membri il numero $4$, si ottiene l'equazione: $$ 4x-2+4=6+4 $$ che ha ancora soluzione $x=2$, quindi è equivalente a quella data.
Consideriamo ora la stessa equazione $4x-2=6$, ma questa volta addizionando ambo i membri per l'espressione algebrica $x-1$. In questo modo otteniamo: $$ 4x-2+x-1=6+x-1 $$ che ha ancora soluzione $x=2$, e quindi è equivalente a quella data.

Il primo principio di equivalenza equivale alla regola del trasportoposso trasportare un termine da una parte all'altra dell'uguale purché si cambino di segno tutti i termini presenti nell'equazione

Esempio sull'utilizzo della regola della regola del trasporto

Consideriamo l'equazione $$ 3x+1=2x+6 $$ notiamo che l'incognita x compare in entrambi i membri e che il numero 1 dovrebbe essere spostato a secondo membro. Applicando la regola del trasporto otteniamo: $$ 3x-2x=6-1 $$ A questo punto sommiamo i termini simili a primo e a secondo membro e abbiamo: $$ x=5 $$ che è la soluzione della nostra equazione.

 

Secondo principio di equivalenza o regola di cancellazione

Il secondo principio di equivalenza delle equazioni dice che moltiplicando o dividendo ambo i membri per uno stesso numero diverso da $0$ o una stessa espressione algebrica, l'equazione ottenuta è equivalente a quella data

Esempio

Data l'equazione $$ 3x=6 $$ che ha soluzione $x=2$, se dividiamo ambo i membri per $3$, si ottiene: $$ \frac{3x}{3}=\frac{6}{3} $$ che semplificata risulta: $$ x=2 $$ che è la soluzione della mia equazione.

Se vuoi esercitarti sulla risoluzione delle equazioni di primo grado clicca sul bottone blu qui sotto e visualizzerai ulteriori esercizi sulle equazioni di primo grado sia svolti che da svolgere. 

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Equazioni e problemi reali

Ma a cosa servono le equazioni di primo grado e perché le studiamo? La risposta la trovi in una mia video lezione su YouTube in cui ti mostro come applicare le equazioni di primo grado a un problema di vita reale.

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