In questa lezione ti spiego come risolvere le disequazioni con i logaritmi anche chiamate disequazioni logaritmiche. Ti ho parlato dei logaritmi e più in generale della funzione logaritmica in questo articolo. Facci un salto se vuoi ripassare la definizione e le proprietà dei logaritmi perché ti serviranno per capire quello che ti spiego qui sotto.
In generale, per risolvere una disequazione logaritmica si devono compiere i seguenti passi:
- Imporre e calcolare le condizioni di esistenza di tutti i logaritmi aventi l'incognita $x$ ad argomento.
- Fare in modo che tutti i termini siano espressi sotto forma di logaritmo e che abbiano la stessa base.
- Eventualmente, utilizzando le proprietà dei logaritmi, ridurre la disequazione in modo da avere un solo logaritmo in ambo i membri.
- Semplificare i logaritmi presenti nei due membri e risolvere la disequazione tra gli argomenti rimasti. (CAMBIA IL VERSO se la base del logaritmo è minore di 1)
- Risolvere il sistema tra le condizioni di esistenza calcolate al punto 1 e la soluzione della disequazione del punto 4.
Possiamo distinguere 3 tipologie di disequazioni logaritmiche:
- Disequazioni logaritmiche elementari con due logaritmi aventi la stessa base ($\log_b A > \log_b B$)
- Disequazioni logaritmiche elementari con un solo logaritmo ($\log_b A > k$)
- Disequazioni logaritmiche con due logaritmi o più logaritmi aventi base diversa ($\log_b A > \log_c B$)
Per ciascuna di queste ti darò la procedura teorica e ti fornirò degli esempi.
Disequazioni con due logaritmi aventi la stessa base
Questo è il tipo di disequazione logaritmica più semplice da risolvere poiché dopo il primo passaggio il logaritmo va via. La disequazione in questione si presenta nella forma $$\log_b A > \log_b B$$
dove A e B sono due quantità contenenti la variabile $x$ oppure una delle due è un numero, una costante.
I passi da seguire sono semplicemente tre, ossia i passi 1, 4 e 5 seguenti:
- Porre le condizioni di esistenza dei logaritmi che hanno la $x$ (possono essere entrambi A e B oppure uno solo di essi): $A,B>0$
- Tutti i termini sono espressi già sotto forma di log e hanno tutti la stessa base $b$, quindi passo al punto 3.
- Ho esattamente un solo log al primo membro e uno al secondo membro, per cui passo al punto 4.
- Posso togliere i log da ambo i membri e risolvere $A>B$
- Metto dunque a sistema le condizioni di esistenza del punto 1 con la soluzione della disequazione del punto 4: $$\begin{cases}A,B>0\\ A>B\end{cases}$$
Esempio
Risolviamo la disequazione:
$$\log_{\frac{1}{2}}(4-x)>\log_{\frac{1}{2}}(x+2)$$
- Imponiamo il campo di esistenza dei due logaritmi: $$\begin{cases}4-x>0\\ x+2>0\end{cases}$$ e risolviamo le due disequazioni: $$\begin{cases}x < 4\\ x>-2\end{cases}$$
- Togliamo i logaritmi e risolviamo $4-x < x+2$ notando che bisogna cambiare il verso dato che la base è minore di 1: $$\begin{array}{l}-2x < -2\\ x>1\end{array}$$
- Infine, risolviamo il sistema tra le condizioni di esistenza e la soluzione appena trovata: $$\begin{cases}x < 4\\ x>-2\\ x>1\end{cases}$$ La soluzione del sistema e quindi della disequazione logaritmica è $$1 < x < 4$$
Disequazioni con un solo logaritmo
Adesso aumento il livello di difficoltà e ti vado a risolvere disequazioni del tipo $$\log_b A>k$$ dove A è la quantità contenente la $x$ mentre $k$ è un numero qualsiasi. Bisogna seguire i seguenti step:
- Calcolare le condizioni di esistenza del logaritmo: $A>0$
- Riscrivere $k$ in modo equivalente usando la definizione di logaritmo in base $b$: $\log_b A>\log_b b^k$
- Togliere i logaritmi in entrambi i membri e quindi risolvere: $A>b^k$
- Mettere a sistema le C.E. con la soluzione di quest'ultima: $$\begin{cases}A>0\\ A>b^k\end{cases}$$
Esempio
Risolviamo la disequazione:
$$\log_2(x^2-1)<3$$- Calcolo le C.E. del logaritmo: $$\begin{array}{l}x^2-1 > 0\\ x < -1\vee x>1\end{array}$$
- Trasformo il 3 in logaritmo in base 2, cioè riscrivo $3=\log_2 2^3$ e risolvo $\log_2(x^2-1)<\log_2 2^3$ togliendo i log: $$\begin{array}{l}x^2-1 < 2^3\\x^2< 9\\-3 < x < 3\end{array}$$
- Risolvo il sistema tra le C.E. e quest'ultima soluzione: $$\begin{cases}x < -1\vee x>1\\ -3 < x < 3\end{cases}$$
Come si vede dal grafico, la parte a comune è $$-3 < x < -1 \vee 1 < x < 3$$
Disequazioni con due o più logaritmi aventi base diversa
Ti mostro ora come fare a risolvere disequazioni logaritmiche in cui compaiono più logaritmi con base diversa. Queste sono le disequazioni logaritmiche più lunghe perché richiedo tutti e 5 i passaggi che ti ho menzionato all'inizio della lezione. Andrò a svolgere direttamente un esercizio:
Risolviamo la seguente disequazione logaritmica: $$\log_2(2x-1)\leq \log_4(4x-1)$$
- Calcoliamo le CE dei due logaritmi: $$\begin{cases}2x-1 >0\\ 4x-1>0\end{cases}\rightarrow\begin{cases}x>\cfrac{1}{2}\\ x>\cfrac{1}{4}\end{cases}$$ Se vuoi puoi calcolare al volo questo sistema, notando che è $x>\cfrac{1}{2}$ dato che $\cfrac{1}{2}>\cfrac{1}{4}$.
- I logaritmi hanno base diversa, quindi dobbiamo trasformare uno dei due nell'altra base. Ho deciso di trasformare il logaritmo dalla base 2 alla base 4: $$\begin{array}{l}
\log_2(2x-1)=\\
=\cfrac{\log_4(2x-1)}{\log_4 2}=\\
=\cfrac {\log_4(2x-1)}{\frac{1}{2}}=\\
=2\log_4(2x-1)=\\
=\log_4(2x-1)^2\end{array}$$
Da notare che ho applicato diverse proprietà dei logaritmi. La disequazione così diventa: $$\log_4(2x-1)^2\leq \log_4(4x-1)$$ - Rimuovo i log in entrambi i membri e risolvo: $$(2x-1)^2 \leq (4x-1)$$ Dopo un pò di passaggi algebrici dovresti ottenere $$\cfrac{2-\sqrt{2}}{2}\leq x\leq\cfrac{2+\sqrt{2}}{2}$$
- Risolvo il sistema finale tra le CE e quest'ultima soluzione trovata $$ \begin{cases}x>\cfrac{1}{2}\\ \cfrac{2-\sqrt{2}}{2}\leq x\leq\cfrac{2+\sqrt{2}}{2} \end{cases}$$ Se fai il grafico vedi che le soluzioni sono $$\cfrac{1}{2} <x \leq \cfrac{2+\sqrt{2}}{2}$$
