Test di ipotesi sulla varianza e sulla deviazione standard

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Talvolta capita di dover esaminare la variabilità della popolazione oggetto di studio; ad esempio, si può procedere con un test sul controllo del peso di prodotti venuti fuori da un processo produttivo in un'azienda. In questo caso si esamina se la varianza del variabile aleatoria "peso" rispetta gli standard di variabilità.

Sia $X_1, X_2,\dots ,X_n$ un campione osservato proveniente dunque da una popolazione normale con media e varianza incognite. Si esamina la varianza $\sigma^2$ conducendo uno dei seguenti test si ipotesi seguente: $$a) \begin{cases} H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2\\ H_1:\sigma^2>\sigma_0^2 \end{cases}\quad b)\begin{cases} H_0:\sigma^2\geq\sigma_0^2\\ H_1:\sigma^2 < \sigma_0^2\quad \end{cases} c)\begin{cases} H_0:\sigma^2=\sigma_0^2\\ H_1:\sigma^2\neq\sigma_0^2 \end{cases}$$

La statistica test $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\quad\mbox{gdl: } n-1}\quad\bigstar$$ si dimostra essere una chi-quadrato con n-1 gradi di libertà in cui $S$ indica la varianza del campione osservato.

In accordo con l'ipotesi alternativa (il tipo di test) esprimiamo l'esito del test dicendo che ad un certo livello di significatività $\alpha$ scelto

  • nel test unilaterale destro a) rifiuto $H_0$ se $\chi^2>\chi^2_{\alpha}(n-1)$
  • nel test unilaterale sinistro b) rifiuto $H_0$ se $\chi^2 < \chi^2_{1-\alpha}(n-1)$
  • nel test bilaterale c) rifiuto $H_0$ se $\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}(n-1) < \chi^2 < \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}(n-1)$

Osserviamo che i valori critici (vedi tavola distribuzione chi quadro)che delimitano le regioni di rifiuto dipendono non solo dai gradi di libertà ma anche dal tipo di test; infatti, per l'asimmetria della distribuzione chi quadro,

    • $\alpha$ indicherà la regione di rifiuto in un test unilaterale destro
    • $1-\alpha$ indicherà la regione di rifiuto in un test unilaterale sinistro
    • $\frac{\alpha}{2}$ e $1-\frac{\alpha}{2}$ rispettivamente estremo sinistro e destro della la regione di rifiuto in un test bilaterale.

Al solito, i livelli di significatività più comunemente utilizzati sono $\alpha=0.01$ e $\alpha=0.05$.

Esempio

Il peso di certi pacchetti confezionati automaticamente è distribuito secondo una distribuzione normale con scarto quadratico medio $\sigma = 0.25g$. L’esame di un campione di 20 confezioni ha permesso di calcolare uno scarto quadratico campionario $s = 0.32g$. L’apparente aumento dello scarto quadratico medio, ossia della variabilità, è significativo al livello $\alpha= 0.05$?

Dobbiamo verificare la falsità dell'ipotesi nulla che lo scarto quadratico medio della popolazione dei pacchetti è inferiore a 0.25g contro l'alternativa che esso sia superiore: $$\begin{cases} H_0: \sigma\leq 0.25\\ H_1: \sigma > 0.25\end{cases}$$

Calcoliamo il valore di $\chi^2$ utilizzando la $\bigstar$: $$\chi^2=\frac{19\cdot 0.32^2}{0.25^2}=31.13$$ e il valore critico al livello $\alpha= 0.05$ consultando le tavole della distribuzione chi quadro https://www.webtutordimatematica.it/images/pdf_vari/tavola-chi-quadrato.pdf: $$\chi_{\alpha}^2=\chi_{0.05}^2=30.144$$

Dato che il test è unilaterale destro, la regione di rifiuto sarà $\chi^2>\chi^2_{\alpha}(n-1)$, ossia l'esito del test è: c'è sufficienza evidenza del fatto che $\sigma > 0.25$ quindi rifiuto $H_0$.

Test di ipotesi sulla varianza per grandi campioni

Tuttavia, il test esaminato viene usato spesso per piccoli campioni nelle applicazioni pratiche. Infatti, se il campione è grande e proviene da popolazione normale, si può usare la statistica $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{Z=\frac{S-\sigma_0}{\frac{\sigma_0}{\sqrt{2n}}}}\quad\bigstar\bigstar$$ che si distribuisce come una variabile aleatoria normale standardizzata per $n$ sufficientemente grande ($n\geq 30$).

Il sistema di ipotesi è uguale a quello usato nel caso di piccoli campioni e i valori critici che definiscono le regioni di rifiuto sono $z_{\alpha}$ per i test unilatelari e $z_{\frac{\alpha}{2}}$ per il test bilaterali, esattamente come fatto nel test di ipotesi per la media.

Esempio

Si misura la temperatura di ebollizione di 100 campioni di un liquido e si trova uno scarto quadratico medio campionario $s = 0.099°C$. Si può affermare al livello di significatività $\alpha = 0.01$ che la varianza della distribuzione della popolazione da cui proviene il campione sia minore di 0.015? Supporre che la popolazione abbia distribuzione almeno approssimativamente normale.

Si tratta di un test unilaterale sinistro le cui ipotesi sono $$\begin{cases} H_0: \sigma^2\geq 0.015\\ H_1: \sigma < 0.015\end{cases}$$

Considerato che $\sigma_0=\sqrt{\sigma_0^2}=0.1225$ e applicando la $\bigstar\bigstar$, la statistica zeta risulta: $$Z=\frac{0.099-0.1225}{\frac{0.1225}{\sqrt{200}}}=-2.71$$

Dalle tavole della distribuzione normale standard si ottiene il valore critico corrispondente al livello di significatività $\alpha=0.01$ $$z_{\alpha}=2.326$$

Dato che il test è unilaterale sinistro e $Z=-2.71 < - z_{\alpha}=-2.326$, l'esito del test sarà: rifiuto l'ipotesi nulla $H_0$.

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