Le disposizioni servono per contare tutti quei raggruppamenti di k elementi scelti da un totale di n quando si vuole tenere conto sia degli elementi da includere che dell'ordine con cui essi vengono disposti.
Inoltre, se un elemento non compare più di una volta in ciascun raggruppamento, si parla di disposizioni semplici, altrimenti si hanno le disposizioni con ripetizione. Vediamole entrambe qui sotto nel dettaglio.
Disposizioni semplici
Fissato un $k\in\mathbb N$, con $1\le k\le n$, si chiamano disposizioni semplici degli n elementi di A a k a k (o di classe k) $D_{n,k}$, tutti i raggruppamenti ordinati formati con k elementi distinti di A.
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{D_{n,k}=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\dots (n-k+1)}$$
Pertanto, due qualunque disposizioni semplici di A della stessa classe k, differiscono o per qualche elemento ("qualità") o per l'ordine in cui sono disposti gli elementi ("ordine").
Esempio disposizioni semplici
Sia $A=\{a_1,a_2,a_3\}$, si ha $n=3$ e $1\le k\le n=3$, ovvero, k può essere 1,2 oppure 3.
- Per k=1 le disposizioni semplici di A di classe 1 sono $D_{3,1}=3\cdot 1=3$: $$a_1,\ a_2,\ a_3$$
- Per k=2 le disposizioni semplici di A di classe 2 sono $D_{3,2}=3\cdot 2=6$: $$(a_1,a_2)\ (a_1,a_3)\ (a_2,a_1)\ (a_2,a_3)\ (a_3,a_1)\ (a_3,a_2)$$
- Per k=3 le disposizioni semplici di A di classe 2 sono $D_{3,3}=3\cdot 2\cdot 1=6$: $$(a_1,a_2,a_3)\ (a_1,a_3,a_2)\ (a_2,a_1,a_3)\ (a_2,a_3,a_1)\ (a_3,a_1,a_2)\ (a_3,a_2,a_1)$$
Si può verificare che vale anche la seguente formula:
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{D_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}}$$
Disposizioni con ripetizione
Fissato $k\in\mathbb N\ \{0\}$ (non necessariamente $k\le n$), si dicono disposizioni con ripetizione degli n elementi di A a k a k (o di classe k), $D_{n,k}^r$, tutti i raggruppamenti ordinati formati prendendo k elementi, eguali o distinti, tra gli n di A.
$$\bbox[#ffffff,5px,border:2px solid #ff6600]{D_{n,k}^r=n^k}$$
Esempio disposizioni con ripetizione
Sia $A=\{a_1,a_2\}$, si ha $n=2$.
- Per k=1 le disposizioni con ripetizione di A di classe 1 sono $D_{2,1}^r=2^1=2$: $$a_1,\ a_2$$
- Per k=2 le disposizioni con ripetizione di A di classe 2 sono $D_{2,2}^r=2^2=4$: $$(a_1,a_1)\ (a_1,a_2)\ (a_2,a_1)\ (a_2,a_2)$$
- Per k=3 le disposizioni con ripetizione di A di classe 3 sono $D_{2,3}^r=2^3=8$: $$(a_1,a_1,a_1)\ (a_1,a_1,a_2)\ (a_1,a_2,a_1)\ (a_2,a_1,a_1)\ (a_1,a_2,a_2)\ (a_2,a_1,a_2)\ (a_2,a_2,a_1)\ (a_2,a_2,a_2)$$