Un tecnico possiede una scorta di 3 lampadine da utilizzare per sostituire, in caso di guasto, la lampadina di un pannello. Il tempo di durata di funzionamento di ciascuna lampadina è distribuito come una variabile casuale esponenziale con parametro $\lambda=0,005$. Si supponga che il tecnico non possa disporre di un rinnovo della scorta prima di 24 ore.
a) Poniamo $T=$ "tempo totale di durata fino al guasto di 3 lampadine"
$T$ è dunque la somma di tre variabili aleatorie con distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$, ovvero: $$T=T_1+T_2+T_3\quad\mbox{dove}\quad T_i\sim EXP(\lambda)\quad i=1,2,3$$
Per rispondere al punto a dobbiamo determinare $P(T\ge 24)$.
Dalla teoria della distribuzione esponenziale, sappiamo che se $T=T_1+T_2+T_3$ con $T_i$ distribuiti secondo un'esponenziale con il medesimo parametro, si ha:
$$P(T < t)=1-e^{-\lambda x}\left(1+\frac{\lambda x}{1!}+\frac{(\lambda x)^2}{2!}\right)$$
Sfruttando tale proprietà, possiamo scrivere:
$$\begin{array}{l} P(T\ge 24)&=1-P(T < 24)=1-\left[1-e^{-0,005\cdot 24}\left(1+\frac{0,005\cdot 24}{1!}+\frac{(0,005\cdot 24)^2}{2!}\right)\right]=\\ &=1-1+e^{-0,12}\left(1+0,12+0,0072\right)=\frac{1,1272}{e^{0,12}}=0,99974\end{array}$$
b) Rispondiamo al punto b. notando che, grazie al punto a. possiamo dire che
$$P(T < 24)=1-P(T\ge 24)=1-0,99974=0,00026 >0,0001$$
Di conseguenza, per poter ridurre tale probabilità, abbiamo bisogno di considerare un numero $n$ di lampadine superiore a 3. E infatti, per $n=4$ otteniamo:
$$\begin{array}{l} P(T < 24)&=1-e^{-0,12}\left(1+0,12+0,0072+\frac{(0,12)^3}{3!}\right)=1-e^{-0,12}\left(1,1272+0,00288\right)=1-\frac{1,127488}{e^{0,12}}\\ &=1-0,999992=0,000008 < 0,0001\end{array}$$
Concludiamo dicendo che il numero di lampadine che il tecnico dovrebbe avere affinchè la probabilità richiesta sia inferiore a 0,0001 è 4.
Eserciziari di Matematica Generale, Analisi I e II, Statistica, Fisica e Algebra Lineare
