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Esercizi sulle distribuzioni di probabilità continue

Esercizi sulla distribuzione esponenziale

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Un tecnico possiede una scorta di 3 lampadine da utilizzare per sostituire, in caso di guasto, la lampadina di un pannello. Il tempo di durata di funzionamento di ciascuna lampadina è distribuito come una variabile casuale esponenziale con parametro $\lambda=0,005$. Si supponga che il tecnico non possa disporre di un rinnovo della scorta prima di 24 ore.

  1. a. Qual è la probabilità che le 3 lampadine non si guastino entro le 24 ore (a partire dalla prima sostituzione)?
  2. b. In generale, di quante lampadine (n) dovrebbe disporre il tecnico nella sua scorta perchè la probabilità di non poter effettuare la sostituzione (cioè non dispone di un rinnovo della scorta se non dopo le 24 ore) sia inferiore a 0,0001?
Esercizio 1

a) Poniamo $T=$ "tempo totale di durata fino al guasto di 3 lampadine"

$T$ è dunque la somma di tre variabili aleatorie con distribuzione esponenziale di parametro $\lambda$, ovvero: $$T=T_1+T_2+T_3\quad\mbox{dove}\quad T_i\sim EXP(\lambda)\quad i=1,2,3$$

Per rispondere al punto a dobbiamo determinare $P(T\ge 24)$.

Dalla teoria della distribuzione esponenziale, sappiamo che se $T=T_1+T_2+T_3$ con $T_i$ distribuiti secondo un'esponenziale con il medesimo parametro, si ha:

$$P(T < t)=1-e^{-\lambda x}\left(1+\frac{\lambda x}{1!}+\frac{(\lambda x)^2}{2!}\right)$$

Sfruttando tale proprietà, possiamo scrivere:

$$\begin{array}{l} P(T\ge 24)&=1-P(T < 24)=1-\left[1-e^{-0,005\cdot 24}\left(1+\frac{0,005\cdot 24}{1!}+\frac{(0,005\cdot 24)^2}{2!}\right)\right]=\\ &=1-1+e^{-0,12}\left(1+0,12+0,0072\right)=\frac{1,1272}{e^{0,12}}=0,99974\end{array}$$

b) Rispondiamo al punto b. notando che, grazie al punto a. possiamo dire che

$$P(T < 24)=1-P(T\ge 24)=1-0,99974=0,00026 >0,0001$$

Di conseguenza, per poter ridurre tale probabilità, abbiamo bisogno di considerare un numero $n$ di lampadine superiore a 3. E infatti, per $n=4$ otteniamo:

$$\begin{array}{l} P(T < 24)&=1-e^{-0,12}\left(1+0,12+0,0072+\frac{(0,12)^3}{3!}\right)=1-e^{-0,12}\left(1,1272+0,00288\right)=1-\frac{1,127488}{e^{0,12}}\\ &=1-0,999992=0,000008 < 0,0001\end{array}$$

Concludiamo dicendo che il numero di lampadine che il tecnico dovrebbe avere affinchè la probabilità richiesta sia inferiore a 0,0001 è 4.

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