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Frazioni generatrici

Data una frazione ridotta ai minimi termini, si hanno i seguenti casi:

  1. Se il denominatore è $1$, allora la frazione è apparente e genera un numero intero.
  2. Se tra i fattori del denominatore appaiono solo $2$ e $5$ allora la frazione è decimale e genera un numero decimale limitato.
  3. Se tra i fattori del denominatore non appaiono né $2$ né $5$ allora la frazione genera un numero periodico semplice.
  4. Se tra i fattori del denominatore appaiono altri numeri primi oltre al $2$ o al $5$ allora la frazione genera un numero periodico misto.

Esempio di frazione che genera un numero intero

$\frac{32}{8}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{4}{1}$. Siamo quindi nel primo caso, ovvero la frazione genera un numero intero.

Esempio

$\frac{4}{50}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{2}{25}$. Essendo la scomposizione del denominatore: $$25=5\cdot 5$$ formata solo da $5$, siamo nel secondo caso, ovvero la frazione genera un numero decimale limitato.

Esempio di frazione generatrice di un numero periodico semplice

$\frac{5}{15}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{1}{3}$. Visto che nella scomposizione del denominatore non compaiono né $2$ né $5$, siamo nel terzo caso, ovvero la frazione genera un numero periodico semplice.

Esempio di frazione generatrice di un numero periodico misto

$\frac{2}{12}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{1}{6}$. Visto che nella scomposizione del denominatore ($6=2\cdot 3$) compare oltre al $2$ anche il numero primo $3$, siamo nel quarto caso, ovvero la frazione genera un numero periodico misto.

Dalla frazione al numero decimale

Per passare da una frazione ad un numero decimale basta svolgere la divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo l'approssimazione voluta come mostrato nel paragrafo precedente. Però, nel caso in cui la frazione è decimale (ovvero al denominatore compaiono 10, 100, 1000, ecc.), si può ricavare facilmente il numero decimale: bisogna scrivere il numeratore e spostare la virgola da destra verso sinistra di un numero di posti uguale al numero di 0 presenti al numeratore

Esempio di frazione decimale

$\frac{215}{10}$

Poichè abbiamo uno zero al denominatore, sposteremo la virgola di un solo posto:

$$\frac{215}{10}=21,5$$

Altro esempio di frazione decimale

$\frac{21}{100}$

Poichè abbiamo due zeri al denominatore, sposteremo la virgola di due posti:

$$\frac{21}{100}=0,21$$

Calcolare il numero decimale generato dalle seguenti frazioni scrivendo di che tipo di numero si tratta:

  1. $\frac{35}{7}$
  2. $\frac{49}{98}$
  3. $\frac{24}{22}$
  4. $\frac{13}{52}$
  5. $\frac{9843}{100}$
  6. $\frac{765}{10}$

Dal numero decimale alla frazione

Vediamo come determinare la frazione generatrice per:

    1. Numero decimale limitato: scriviamo il numero senza virgola al numeratore e al denominatore scriviamo un $1$ e tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero considerato

Esempio

Determiniamo le frazioni generatrici dei numeri $2,124$, $0,23$ e $1,9$

$$2,124=\frac{2124}{1000}\quad 0,23=\frac{23}{100}\quad 1,9=\frac{19}{10}$$
    1. Numero periodico semplice: scriviamo al numeratore la differenza tra l'intero numero dato senza virgola e tutto ciò che non fa parte del periodo; mentre al denominatore scriviamo tanti $9$ quante sono le cifre che compongono il periodo

Esempio

Determiniamo le frazioni generatrici dei numeri $11,\overline{3}$, $0,\overline{19}$ e $1,\overline{512}$

$$11,\overline{3}=\frac{113-11}{9}=\frac{34}{3}$$ $$0,\overline{19}=\frac{19}{99}$$ $$1,\overline{512}=\frac{1512-1}{999}=\frac{1511}{999}$$
    1. Numero periodico misto: scriviamo al numeratore la differenza tra l'intero numero dato senza virgola e tutto ciò che non fa parte del periodo; mentre al denominatore scriviamo tanti $9$ quante sono le cifre che compongono il periodo e tanti $0$ quante sono le cifre che compongono l'antiperiodo

Esempio

Determiniamo le frazioni generatrici dei numeri $11,\overline{3}$, $0,2\overline{9}$ e $1,\overline{512}$

$$11,2\overline{3}=\frac{1123-112}{90}=\frac{337}{30}$$ $$0,2\overline{5}=\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}$$ $$1,51\overline{2}=\frac{1512-151}{900}=\frac{1361}{900}$$

Scrivere le frazioni generatrici dei seguenti numeri

  1. $2,76$
  2. $1,\overline{4}$
  3. $34,\overline{32}$
  4. $62,4\overline{2}$
  5. $923,3\overline{54}$
  6. $0,23\overline{47}$
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