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Le sezioni coniche

In questa lezione introduciamo lo studio delle sezioni coniche descrivendo come esse si generano. Innanzitutto, diamo qualche cenno storico.

Le sezioni coniche nascono dall'esigenza degli scienziati di estendere i concetti di geometria euclidea, quali rette e cerchi, a figure più complesse, come ellissi, parabole e iperboli che descrivevano ad esempio le traiettorie dei pianeti, delle comete e dei proiettili, la rifrazione dei raggi luminosi attraverso dei materiali, il funzionamento di lenti, telescopi e perfino dell'occhio umano. Queste necessità spinsero i matematici a sviluppare la geometria delle coniche.

Ma come si generano queste coniche e che forma hanno?

Prendiamo una superficie generata dalla rotazione completa di una retta generatrice $g$ attorno a un'asse $a$, incidente con la prima nel vertice $V$ e formante un angolo di semiapertura $\alpha$. Si ottiene così una superficie conica a due falde (vedi figura)

Generazione del doppio cono

Intersechiamo ora la superficie con un piano non passante per il vertice. A seconda dell'inclinazione del piano rispetto l'asse, si ottengono le diverse coniche.

In particolare, se il piano interseca il cono formando con l'asse un angolo $\beta$ uguale all'angolo $\alpha$, si ottiene una parabola

La parabola ottenuta della sezione di un cono

Se invece il piano interseca la superficie conica formando un angolo $\beta=90°$ con l'asse, otteniamo una circonferenza:

La circonferenza come sezione conica

Se l'angolo $\beta$ di inclinazione è maggiore dell'angolo $\alpha$, allora si ottiene un'ellisse:

Ellisse come sezione conica

infine, se $\beta < \alpha$ si generano i due rami di iperbole:

Iperbole come sezione di un cono

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