Consideriamo due insiemi di numeri reali, che indichiamo con $D$ e $C$. Una funzione $f$ definita in $D$ a valori in $C$ è una legge che ad ogni elemento dell'insieme di definizione $D$ fa corrispondere uno ed un solo elemento dell'insieme di arrivo $C$. L'insieme $D$ è detto dominio di $f$. La funzione $f$ così definita sarà indicata con i seguenti simboli
$$ f: D \rightarrow C $$
(leggi "f definita in $D$ a valori in $C$")
oppure
$$ y = f(x) $$
(leggi "y uguale $f$ di $x$")
intendendo con questa scrittura che ad ogni elemento $y \in D$ viene associato uno ed un solo elemento $x \in D$ tramite la legge $f$. L'elemento $x$ si chiama anche argomento di $f$, mentre il valore di $y = f(x)$ si chiama immagine di $x$ mediante $f$.
Esempio
La funzione $f : [-1, 2] \rightarrow \mathbb{R}$ definita mediante la legge $y = 3x +2$ associa ad ogni elemento $x$ dell'intervallo $[2, 4]$ il valore reale $y$ ottenuto da $x$ moltiplicandolo prima per tre e poi sommando ad esso 2.Esempio
La funzione $y = \frac{1}{x}$ non può essere definita per $x=0$, quindi il suo dominio dovrà certamente escludere lo zero. Quindi $D = \mathbb{R} \backslash \{0\}$. Per ottenere $y = f(x) = \frac{1}{x} $ devo prendere ogni $x \in D$ e calcolarne l'inverso.Per conoscere i domini delle funzioni elementari clicca qui.
Per rappresentare una qualsiasi funzione reale $f: D \rightarrow C$ nel piano cartesiano bisogna disegnare il seguente insieme che prende il nome di grafico di $f$: $$graf(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R^2} : \quad x \in D, \quad y = f(x), \quad y \in C \} $$
Ad esempio i grafici delle due funzioni negli esempi precedenti sono:
Osserviamo che il dominio è solo la parte in giallo dell'asse delle ascisse e quindi il grafico della funzione è soltanto quello in blu più spesso.
In particolare per disegnare il grafico di una retta (nel nostro caso ristretta all'intervallo $[-1, 2]$), ricordando che per due punti passa una e una sola retta, basta individuare i due punti che determinano la retta con la seguente tabellina:
Infatti dal grafico della prima funzione si vede che la retta passa per i punti $(0, 2)$ e $(-1, -1)$.
Adesso, sia $f: D \rightarrow C$ e sia $X \subseteq D$. L'insieme $$f(X) = \{ y \in C: \quad \exists \ x \in X: \quad y = f(x) \} $$ prende il nome di immagine di $X$ mediante $f$. Osserviamo che chiaramente $$f(X) \subseteq C$$
L'immagine di tutto il dominio, cioè $f(D)$ si chiama codominio di $f$.
