Perchè studiare il segno di una funzione
Studiare il segno di una funzione vuol dire svolgere la seguente disequazione:
$$f(x)>0$$
Tale studio ci permette sostanzialmente di ridurre ulteriolmente la regione del piano su cui avranno luogo i punti della funzione, e quindi, ci facilita lo studio della stessa.
Diamo qualche esempi, calcolando la positività di alcune funzioni delle quali avevamo già calcolato il dominio in questo articolo.
Calcoliamo la positività della funzione $f(x)=\frac{x^2-x+4}{2x-1}$
$$\frac{x^2-x+4}{2x-1}>0\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} x^2-x+4>0\\ 2x-1>0\end{array}\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} \forall x\in\mathbb R\\ x>\frac{1}{2}\end{array}\quad\Rightarrow\quad x>\frac{1}{2}$$
L'intervallo appena trovato, ci dice che la funzione è positiva nell'intervallo $\left]\frac{1}{2},+\infty\right[$ e negativa altrove. Graficamente, questo equivale a dire che possiamo oscurare la parte di semipiano delle $y$ negative per quanto riguarda l'intervallo $\left]\frac{1}{2},+\infty\right[$, mentra oscuriamo la parte di semipiano delle $y$ positive altrove, ovvero nell'intervallo $\left]-\infty,\frac{1}{2}\right[$. Vedi grafico qui di seguito:
Calcoliamo la positività della funzione $f(x)=\frac{\log 2x +1}{x}$
$$\frac{\log 2x +1}{x}>0\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} \log 2x +1>0\\ x>0\end{array}\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} \log 2x>-1\\ x>0\end{array}\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} 2x>\frac{1}{e}\\ x>0\end{array}\quad\Rightarrow\quad \begin{array}{l} x>\frac{1}{2e}\\ x>0\end{array}$$
Facendo il prodotto dei segni di questi due intervalli trovati e prendendo la parte positiva, ottengo:
$$x < 0\ \vee\ x > \frac{1}{2e}$$
Poichè il dominio della funzione è $x>0$, ci limitiamo a considerare solo la soluzione $x > \frac{1}{2e}$. Questo intervallo è l'unico in cui la funzione assume segno positivo. Il grafico sottostante mostra l'esclusione delle regioni di piano individuate da tale intervallo. Inoltre, il punto di coordinate $\left(\frac{1}{2e},0\right)$ fa parte del grafico della funzione.
Come già detto, una volta studiata la positività, la rappresentazione del grafico e gli studi successivi sulla funzione diventano più semplici da affrontare proprio perchè lavoriamo su un'area di piano ridotta.
Osservazione sul calcolo della positività
E` utile osservare che non è sempre possibile studiare il segno di una funzione. Ad esempio per la funzione
$$f(x)=x-\log(2x-1)$$non risulta possibile trovarne il segno perche la disequazione che ne viene fuori non è risolvibile con metodi algebrici.
In questi casi si tralascia tale studio e si passa al successivo step, ovvero il calcolo dei punti di intersezione con gli assi.
